数理方程试卷A.docx

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1、0902403班2011-2012春学期课表星期一星期二星期三星期四星期五星 期 六星期日第 1 节董学励讲授的 现代交换技术 0于 6-10 周在N楼4上课孙玉德讲授的单 片机原理及应用 0于1-9周在M楼205上课董学励讲授的 现代交换技术 0于 6-10 周在N楼4上课孙玉德讲授的单 片机原理及应用 0于1-9周在M楼205上课董学励讲授的 现代交换技术 0于 6-10 周在N楼4上课第 2 节刘爱军讲授的 通信原理0于 2-13周在M楼303上课刘爱军讲授的 通信原理0于 2-12周在M楼301上课宋立众讲授的微 波技术0于 5-16周在M楼 203上课刘志勇讲授的 嵌入式操作系 统0

2、于1-9周在N楼4上课刘功亮讲授的专业综合课 程设计0于19-20周上 课U王永玲讲授的电子学 课程设计1于2周上课第 3 节刘志勇讲授的嵌 入式操作系统 0于ITo周在N楼4上课王好贤讲授的移 动通信0于2-8 周在N楼4上 课第 4 节宋立众讲授的 微波技术0于 5-16周在M楼303上课王好贤讲授的移 动通信0于2-9 周在N楼4上 课I第 5 节第 6 节s:/mybank. icbc /icbcperbankindex, jsp 一.:/trade.taobao /trade/detail/trade_item_detail.htm?biz0rderld=12905155349218

3、0s:/b2c.icbc icbcperbankindex.jsp:/trade, taobao/trade/iteml i st/1 i st_bought_items. htm?nekot=1330061587461# (10 分)填空题 : ShoP58867860. taoba。?SPm=IlO3wA2k.6A77V29nTyo先登录个人网上银行密码 a521114电子密码器的开机密码是900114进入淘宝付款后需要同时使用电子密码器和网上交易总之：先登录个人网上银行，交易时翻开电子密码器即可刘哲 ab 和 132878760961.初始位移为0(%),初始速度为(X)的无界弦的自由振

4、动可表述为定解问题：2utt = a uxx. - x O MLO=O(X)，%Lo =(%) L I LJI LU2.为使定解问题ut - a1uxx u = O, U U(yL ， Ha/ o 为常数)u n O、Id中的边界条件齐次化,而设“(x) = V(X/) + w(x),那么可选w(x) = UqX3 .方程 Uxy = O 的通解为(, y) = F(X) + G(y)4 .只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为回西问题.5 .方程q=Yy满足条件(,0) = %2, (o,y)= cosy-l的特解为”(%, y) = -x3y2 +x2 +cosy-l二.UO分)判断方程

5、k+y =的类型，并化成标准形式.解：因为 = y2()(y(),所以除X轴外方程处处是椭圆型的。2分它的特征方程是 (gj+ V =O5分即会=力dx特征线为 In j - ZX = c1, In j + ZX = c2作变换：f7分-x求偏导数ux = uuxx = u1U =-uy1 / 、 J将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式UM +K = U&10 分三.(10分)求解初值问题utt = 4wr . - %0I LLvvU r = X2, UfrX= COSXI t=o t t=o角牛：CI = 2, O(X) X ,-(X) = COSX利用达朗贝尔公式1 1 p x+at.

6、ux.t) = x + at) + x-at)-d5 分2 2aJXF得1 CCl f x+2比(XJ) = (x + 2%)2 + (x- 2)2 + cosd2 4x2 + 4 产 si(x + 2%) Sin(X 2/)4=X2 +4l2 +-Cosxsin2/10 分2四.(15分)用别离变量法解定解问题Utt - 沈 O X O LlJiJiI=。=0, %l=oML)=%，%Lo=o解先求满足方程和边界条件的解设解为= X(X)T(ZL)代入方程得X(x)T,(t) = a2Xx)T(t)除以以X(X)T有X(x) _ 7X(X) 一 得到两个常微分方程X(x) +XX (x) =

7、 0T+ 4 =o由边界条件得X (0)7=0,X (l)T(t) = 0由 T(t) 0 ,得 Xf(O) = O9 XS) = 0 于是固有值问题为X(x) + x) = 0, Xr(0) = 0, Xf(Z) = O解之得一系列固有值X = Al=(午)2, = 0,1,2,相应的固有函数为“ /、7lXn (x) = cos-x再解方程 r+()2r = o,通解为E /、- na C . naTn(t) = Cn cos1 + Dr sin13分4分5分10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解z 、a A . na、 nw(x, t) = / j(Ch cos1 +

8、 Dr sin )cos xn=lIIl由初始条件JM)= 0,得2=0,由 “uo =X,得 X = ZC COS-X n=lI其中 Co=x = gCn=- xcos-dx =(-1) -1, ZZ = L 2, /。 I ny将Cn, Dn代入(z。得定解问题解z 、 I21 ,(-l)n-lanu(x, t) I / COS1 COSX2 2 /ll五 .(15分)解非齐次方程的混合问题ut = uxx + %,0 x 0 u n 0, u 0, % 0I X=OI x=u n = 0.0 xI Iz=O解先确定固有函数X，(x).令(x) = X(X)T代入相应的齐次方程和齐次边界条

9、件得 固有值问题X(x) +XX(x) = 0 X(0)=0, X(X) = O固有函数为 Xx) = six, = L2,设解为00II(X,t)= 7(0sinx1)12分13分14分15分5分7分n=l其中，是待定函数.显然CV)满足边界条件为确定函数，,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数OOX = Z/ Sin nx 2)n=l其中2 r力。1。再将1) ,(2)代入方程得 TWTn -n=l _比拟系数,有(-l)+12nSinMX = On = 1,2,10分由初始条件得OOZ/(0) sinzzx = 0n=l所以11分解初值问题工(O) = 0，(-l)n+12n得 7；=(

10、T) n将，代入级数(1),得定解问题的解.OO / _1 n+1u(x,t)= 2 (1 - ent) sin x14分15分n=l 六 .(15分)用积分变换法解无界杆热传导问题r2ut = a uxx, - x O0的狄利克雷问题收+ =Q Jo- k =/(%).解 先求格林函数，由电学知在上半平面y0的点(x0,%)处置单位负电荷，在 Mq关于%轴的对称点M1(x0,-j0)处置单位正电荷，那么它与Mq产生的电势在%轴上 互相抵消，因此上半平面y0的格林函数为G(M,M0)=-(lnIn)Z 兀rMM0rMMi-in(-)2 (y 47T下面求5G_6Gi嬴5=5=L2(y-)4“(

11、%-%0)2 +(y-y0)2=_.1兀(-)2 + yo所以“(,yo)=-的穿出=号口-37o)2-ln(-) +(，+ %)7 分2(y + %)(x-x0)2 +(y + y0)2 Jy = 010分 /、22dX” 分(X - ) + )0八.(10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在,那么必是唯一的, 而且连续地依赖于所给的边界条件九证明：假设有两个调和函数(x,y,z)和K2(Xy,z),它们在有界区域。的边界上完 全相同，那么它们的差 =%在Q中也满足方程AM = 0,且|二。由极值原理的推论知，函数在区域Q上最大值和最小值均为零，即M三0。因此的三%，即狄利克雷内 问题的解是唯一的。5分其次，设在区域。的边界上给定了函数/和/*,而且在上处处成立，-/*卜, 这里是一个给定的正数。设见*分别是方程AM = O在区域。上以/和/*为边界条件的 狄利克雷内问题的解，那么调和函数3-沈*)|二f-f由极值原理的推论可得，在。上 各点有max( -= max(-*) ,min(w-w*) = min( -*) -, 因此，在。上各点有,一沅*| max-* ,即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。10分