微专题14 拉格朗日中值定理.docx

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1、微专题14 拉格朗日中值定理【知识拓展】1.拉格朗日中值定理：若火X)满足以下条件：(IVcX)在闭区间, 内连续;(2次r)在开区间(，上可导，则在(，内至少存在一点 - 使得了 =于()一于(4)故4时，2+*1恒成立.所以由拉格朗日中值定理得If(Ja)-f(%2)j-2.规律方法 能利用拉格朗日中值定理证明的不等式的特征：既有两自变量的差, 又有两函数(或导数)值的差.2训练1 (2023杭州调研改编)已知函数/U)=X2+aLnx(Q0),对任意两个不相等的正数 Xi,尤2, 证明： 当 W0 时，2Y2J,证明不妨设X1X2,tf、十(XX +%2、xi-X2即证 f(X2)-0时

2、，/(;T)WQX等价于Wa,X由拉格朗日中值定理，存在xoO,.(x) f (O)使得W=/(刈)，故只需 Rao)恒成立即可.92cos xo+1(1 I 1 1又了(次)=(2+cosxo) 2=3coso+215 +3e1b 以所以6Z.规律方法 利用拉朗日中值定理求参数的步骤： 分离参数；(2)构造成f ;二，的形式,求其最值(范围).训练2 (2023济南模拟改编)设於) = (+l)ln x+gx2+l,当一1时，若对任意 的 X1, X2(0,十8), Iy(Jn)-/(X2)N4X1-X2成立，求的取值范围.解 由拉格朗日中值定理，可知必存在xo(O,十8),/4/目/()一

3、/(X2)1+l l使仔/a。)=12，/(o)=+2,.I 1+l,当 0 时，/(xo) =+2tzxoO,Xo由题意IAXO)I三4,/(xo)W4,4-1(2-1) 2、2.十=2?十2、一2,即 6z-2.【精准强化练】一、基本技能练1.(2023福州模拟改编)设火X)=%2-QX+(Din ,求证：当l 1.Xl X2证明由拉格朗日中值定理可知只需证/(x)-1 对 x(0, 1)恒成立，ta1X2(41) x+ (-1)由 /(x) +1 =%+1一一( 1)=,因为la仇 则/(x)+l0, 所以了(%)1.2 .设 Oyl,证明：PyPi(xy)W一y好i(xy).证明 设财

4、=伊,显然火力在y幻满足拉格朗日中值定理的条件,则m(y, x),使得了(JJGDI( y即P歹xP-yP-y 1由Ql知-1在y, %上单调递增，pyp1pp1pxp19从而有 PyP-1 (-y)/-i(-y), 即有 PyPi(-y) 好一产/以厂1(1y).3 .已知函数x) = e%e,若对任意xN0,都有0时，问题转化为-对任意x0恒成立，于(X)一于(。)-0由拉格朗日中值定理知在(0,十8)内至少存在一点式令0),使得了(J =于(X) f(。)x-0， 又了 = eee0=0(4r0),故了在(0,十8)上是增函数，则/(JmmT(0) = 2,所以的取值范围是(一8, 2.

5、二、创新拓展练4 .已知函数x)=3 + 0n x(%eR), /(X)为/CO的导函数，当上三一3时，证明：对“五 一 l r-t(Xl) +/ (%2)f(XI)f(X2)任思 J0, X2 L 十8), 且 Jn42, 有K.2XLX2证明 由拉格朗日中值定理知，存在(X2, Xl),使C(X2)=f.Ieylr (XI) +(42)一LIr只需证明 2V()(l 24rg(l X2g(J(lW2JX2 ,都有f (XI) +/ (X2)于(犬1) 一于(犬2)2XI-X2*力口微ABCYZXT可联系我回高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦 扫一扫上面的二维码图案.加我为朋回;：我是一

6、个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进!如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123b-a .2.几何意义：弦A5的斜率左=,；二：=fD=f，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AA【类型突破】类型一证明不等式2例1已知函数次X)=JI* 2 * 4+In x(xO), x)的导函数是了(犬)，对任意两个不相等的正数 X1, X2,证明：当W4 时,f(xi)-f(X2)xi X2.证明 由x)=2+lnx,得/(x) = 2x+* 令 g(x)=(x),则由拉格朗日中值定理得If(XI)(X2)| = Ig(Xl)g(X2)| = |g。)(XlX2)|.下面只要证明：当iW4时，任意见0,都有 g(2)l,4 CL则有ga)= 2+一4即证4时，A2+恒成立.4这等价于证明x2+1的最小值大于4, /由 =赤，当且仅当X=拒时取到最小值，又1W43赤，