微专题9 导数与不等式的证明.docx

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1、微专题9导数与不等式的证明高考定位导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等 式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、 不等式及其性质等.【难点突破】高考真题(2023新高考I卷)已知函数次x) = a(e，+)一%.(1)讨论#x)的单调性；一3(2)证明：当 aO 时，f(x)21n(1)解 /(x) = 6ze-l, xR.当 tzO 时，/(x)0 时，令/(x)0,得 xln0,令了(X)0,得 x0时，函数x)在(一8, 一Ina)上单调递减，在(一Inq,+8)上单调递增.(2)证明 法一 由(1)得当a0时，函数x) = 4(e%

2、+4)x的最小值为八一山a) =6z(e-ln6z)ln a=l+a2+ln a.31令 g(a) = l+a2+ln a2in 一=一1口 一, tz (O, +o0),所以 ga) = 2a,令/0,得奇；令 g(a)O,得 0a0,3 所以当40时，x)21n+1成立.法二 当 a0 时，由(1)得五x)min=/(1口) = 1+4+加， 3故欲证/(x)21n +成立，31只需证 l+ln 121n +,即证 2一加.构造函数() = ln ( l)(0),G11 c则 uf(a)=-l=-,所以当il时，ua)0;当 0a0,所以函数(4)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)

3、上单调递减，所以 (0)W(I)=0,即 InaT,故只需证a2-al,即证a2a+0.(、2因为 a2a+=a +；0 恒成立，3 所以当a0时，x)21n 成立.样题1 (2023郑州二模改编)已知函数於)=flnx,证明：证明 /(x)-1 等价于 Inx-0.X一 1令 g(x) = lnx一工一, e12-X X2+x-2贝“)，丁=一当 x(0, 1)时,gr(x)O, g(x)单调递增.故 g(x)Ng(l)=O,即危)2x1.样题2 (2023天津模拟改编)已知函数於)=一左，(1)若人X)Wo恒成立，求实数上的取值范围；(2)证明：In +ln HHln 1).(1)解若/)

4、Wo恒成立，贝IJ左三件，、x In x,1In x设 g(x)= 丁，x(0,+8), gr(x)=-,由 gr(x)O,得 0xe,由 g%x)e,所以函数g(Q在(O, e)上单调递增，在(e, + 8)上单调递减，g()ma=g(e)=;,所以kNE C证明令k=J,则/(x)0, CIn 11即一二式1 则InXWlX(当且仅当x=e时等号成立)， CC. 1 1 1 1 1 in 1 1 1 1因为1吁的，In铲行，In方蒜,所以 In +ln +-+ln 晶+与+A样题3 (2023荆州调研改编)已知函数“X)=In -.若x(0, 1),求证:火 x)l +-x2jee证明法一

5、X)=In -=I-Inx,欲证x)l +-x2jex,只需证 x(l In x)O, g(x)单调递增，所以 g(x)3,所以 l+-13l,又 lex 1,所以 g(x)lz(x),即原不等式成立.e法二 fix)=In-= 1ln x.欲证人x)l +-x2jex,只需证：0, exe= 1,则只需证1一加1+12+0, X令 *x)=InXx2+9, x(O, 1),e 11 -l-2x3 -l贝IJ tx)=-2x=丁7r(l) = ln 1 l2+l=0,所以Inx一炉十二。成立，即原不等式成立. X规律方法 利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式x)g(x)

6、(或#x)Vg(X)转化为证明Xx)-g(x) 0(或 f(x) g(x) O.证明 先证不等式exx+l与-llnx,设 g(x) = ex-X1,则 gr(x) = ex-1=0,得 X=0,可得g(x)在(-8, 0)上单调递减，在(0,十8)上单调递增，所以 g(x)=e%-INg(O) = O,即 exxl;设 h(x)=x1In X,由(%)=11=0,得 X=1,可得Zi(X)在(O, 1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，所以 z(x)=-1lnjrz(l) = O,即 -llnx.于是，当 1 时，ex-6z+1 x-1 ln(x6z), 注意到以上三个不等号的取等条件分

7、别为x=a, a=l9 x+a=l,它们无法同时取等，所以当l时,-以In(X+),即,)0【精准强化练】一、基本技能练1 .已知函数X)=X2 ox+ln X.若函数“X)有两个极值点J, X2,求证：f(x+x2)0,则O,解得公2娘.1X1X2 = 29a2Q故 人为+42)= (11+%2)2 。(a+%2)+ 111(犬1+%2)=4+1口 = 一1+加2设 g()=一玄+ln (tz22),1】 a l 1 2-2则/)=1+=Mo,故g(Q)在(2i,+8)上单调递减， 所以 g(6z)g(22)=-2+ln2.因此 f(x -xi)1.X2ex1 证明不等式Mnx+1,Xe%-

8、1等价 T-(exln x+2) 1,由常用不等式e%Nx+l,得。厂12%.e%一即二jNl,故只需证exlnx+2l,令 /(x) = exln x+2(x0),则/(%) = e(lnx+l),易得当 x(, J时，/(x)0, 故人)Wg)=l,等号不同时取到，故原不等式得证.3.(2023南昌模拟)已知函数 F(x) = e+ln (0), G(X)= Inx.若F(X)与G(X)在x=l处有相同的切线，求实数。的值；(2)当 1l, xl 时，求证：F(x)G(x)l.(1)解 V (x)=AGr(I)=-LVF(x)=-ex,F(l)=-e1 = -l,解得 4=1.(2)证明

9、由题意得 F(x) G(x) = eax+ln a+lnx,令#Q) = e。*+In aln x(al)9.y=er与y=ln a在(1, + 8)上均单调递增，)(l,+8)上单调递增，火。)次 D = eL%+lnx.令 g(x) = e1-+ln x(xl), e1- ll 1 -xe1 %贝9(%)=ei x+-=-.令 h(x) = 1xe1-(xl),则 zr(x) = (-l)e1-,易知当Ql时，zr(x)O,.*. z(x)在(1, + 8)上单调递增，z(x)z(l) = O,即/(x)0,.g(x)在(1, + 8)上单调递增，g(x)g(l) = l,)g(l) =

10、l.综上，F(x)-G(x)l.二、创新拓展练4.(2023安阳二模)已知函数式X) = (Xl)e%OLnX的最小值为0. 求实数i的值；2 022 十 2 023 2 025ln z z3(2)证明：e+*i ZTQ解 由题意可知/(x) =Xex-=-(x0),注意到火1) = 0,由题意可得了(l) = e4 = 0,解得4 = e.e x%e当。=e 时，则 /(x) =xex-=-(x0),设 (x) =x2ex - e(xO),则 x) =x(x+2)ex0 对VX0 恒成立，则0(X)在(0,+8)上单调递增，且0(D=0,令 e(x)O,则 1；令 (x)O,则 Oxln 2In 1,坐ln3ln2,eln 4In 3, ，ln (+l)-In n,r 3 1n-所以 e+ 2，+ 32In l) + (ln 3In 2) + (ln 4In 3)Hhln (+1)In =ln (n+l).-31-2 022 P2 023 p令=2023,则 e+芈+芈+ +y7需+5需ln2 024.乙J乙 V 乙 v J只需证明In 2 024墨In 2 025,即证小翳嘿f令 (X)=乎， I-Inx , 一八、则 h(x)=2e 怛成立，则