微专题10 不等式恒(能)成立问题.docx

《微专题10 不等式恒(能)成立问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微专题10 不等式恒(能)成立问题.docx（11页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、微专题10不等式恒(能)成立问题高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，以解答 题的形式出现，多为压轴题，难度较大.【难点突破】高考真题(2022新高考II卷节选)已知函数犬犬)=犹。%e%.(1)当=1时，讨论HX)的单调性；当Qo时，工) = (-l)e xR,贝(x)=xe,当 x0 时，/(x)0 时，/(x)0,故八工)的单调递减区间为(一8, 0),单调递增区间为(0,+8).(2)设 z(x)=xe一e%+l,则 Zz(O)=O,又 zf(x) = (1 ax)eaxex,设 g(x) = (1 + ax)caxcx,则 g,(x) = (2a tz2x)e

2、x,若 a9 则 g0,因为gO,故g(x)在(0, Xo)上单调递增，故 g(x)g(O)=O,故z(x)在(0, XO)上单调递增，故z(x)z(O) = O,与题设矛盾.若 00,总有In(I -x)x成立.证明：设 5(x) = ln(l+x)-x,1JC故 S3=巾=4故S(X)在(0,+8)上单调递减，故 Sa)s()=o,即 In(I+x)x 成立.由上述不等式有已依+皿1+ax) exex+ex=e2axex0,故zr(x)O总成立,即z(x)(O, + 8)上单调递减，所以 z(x)z(O) = O.当 tzO 时,有 (X) = e依一e%+QXeG1 1+0 = 0,所以

3、z(x)在(0,+8)上单调递减，所以 z(x)z(O) = O.综上，.2 样题1 (2023焦作模拟改编)已知x) = (xl)ex+Q2若关于X的不等式於)g+qe%+4在0, + 8)上恒成立，求实数q的取值范围.2解不等式x)NWX3+枇%+4在0,+8)上恒成立，2即(九一l)e%+12-ae%一420 在0,+8)上恒成立，当X=O时，得一1一5三0,得1W一2令 g(x) = (% 1 )ex6zx2- aex4a,gf(x)=ex (X- l)ejc+2ax2x2aex= (-a)(ex-2x),因为1三0, -1,所以设 h(x)=ex-2x9 则 h,(x)=ex29令

4、/zf(x)0,得 xO,得 xln 2,所以z(x) = e-2X在0, In 2)上单调递减，在(In 2,+8)上单调递增，所以 z(x)z(ln 2) = eln2-21n 2 = 2-21n 20,即 ex2x0,所以 g(x)0,所以g(x)在0,+8)上单调递增，所以 g(0) = -150,即 aW-g.In 尤+ 1样题2 (2023武汉调研节选)已知函数兀V)=(R),若1+一一1恒JCJC成立，求实数。的取值范围.解因为於1恒成立，即加工十*1+工_ 1对x (0, + 8)恒成立， XX即 xex1 XInx+1 对 x(0, + 8)恒成立,-1-令(x) =XeLl

5、%lnx+1,贝 1J uf(x) = cx1 + xcx1-1=(x+l)当 x(0, 1)时,u,(x)09 Ma)在(1,+8)上单调递增,故当X=I时，Ma)取最小值(1)=1,所以 所以实数的取值范围是(一8, 1.样题 3 已知/(x) = (x4)e*x2+6x, g(x) = ln-(1)x, al.求人x)的极值；(2)若存在XlL 3,对任意的犬2引。2, e3,使得不等式g(X2)/Jn)成立，求实数CI的取值范围心20.09)解 (1)由 /(X)= (x4)exX2+6x,得了(x) = e%+(-4)e%-2x+6 = (-3)e*2x+6 = (-3)(e*-2)

6、,令/(X) = 0,得 x=3 或 x=ln 2,当X变化时，/(x), #%)的变化如下表：X(8In 2)In 2(In 2, 3)3(3,+8)+00+於)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当X=In 2时，八工)取得极大值, 极大值为 f(ln 2) = (In 2-4)eln2-(ln 2)2+61n 2= -(ln 2)2+81n 2-8, 当x=3时，HX)取得极小值，极小值为9-e3(g-1)在Q, e3上恒成立, In Y-9 + 63即+l:在H, e4上恒成立，人ln-9 + e3C 令 z(X)=-, xe2, e3,，一(In-9 + e3)10_e3_

7、lnX贝 1J a 1 l(x)min, h，(X)=,因为 Xe2, e3,所以 lnx2, 3, 10-e3-lnx7-e3, 8e3, 因为 e3 20.09,所以 8 - e3 8 - 20.09 = -12.090,所以(X)0,所以(x)单调递减，a In e3 + e3-96故 l(x)min = z( ) =3= 1 -T3?CC于是3，得 1,所以实数，的取值范围是11,一).规律方法1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.分离参数法：将参数分离出来，进而转化为1H%)max或O,则g。，所以g(x)在1,+8)上单调

8、递增，所以 g(x)g(l) = O,从而xln -a(x2- l)0,不符合题意；若 aO,令 zr(x) = O,得 x=1.(i )若 O1，当eJ,五)时hf(x)O9 g3在1，用上单调递增，从而 gr(x)gr( 1) = 1 2a0,所以g(x)在1,上单调递增，此时g(x)Ng(l) = 0,不符合题意；(日)若 ,贝00, e*一0,所以了(x)0,则於)在2,+8)上单调递增，於)三八2) = 0成立.当 0e2 时,当 x(2, InQ)时，/(x)V0;当犬(lnm +)0f, /(x)0,所以八工)在(2, Ina)上单调递减，在(In，+8)上单调递增，x)NO不恒

9、成立, 不符合题意.综上，。的取值范围是(一8, e2.法二当x2时，)0恒成立，等价于当x2时，(X，。恒成立，即 g%2一%)QW(X2)e* 在2, + 8)上恒成立.当 x=2 时，OmWO,此时 R.当 x2 时，x2-x0,匕匕2 7 (X12) e% 2%一上、所以-=三怛成立.x2-X2e% e 2 (X1) ex设 8=9 贝U ,(%):丁 ，因为犬2,所以)o,所以g(x)在(2,+8)上单调递增，所以 g(x)g(2) = e2,所以 “We2.综上，的取值范围是(一8, et2 .(2023榆林模拟)已知函数HX) =(Xx2jlnx+(左 + I)JG 左R.若*0

10、,求/U)的单调区间；(2)若左Z,且当xl时，/(x)l,当 x(0, l)U(e +8)时，了0,故x)的单调递减区间为(0, 1)和(4 +8),单调递增区间为(1,丛).n x 1(2)因为 xl,所以/(x)lnx+l 等价于左 1,1 l 11 Inx+- o 1 EllXX-2Inx则 g(x)=1 二 L=2,令 z(x)=-2lnx, xl9则 zr(x) = l-10,则z(x)在(1, + 8)上单调递增.因为 z(3) = l-ln30, 所以IXO(3, 4), z(xo) = O, BP lnxo=xo-2, 所以当(l, Xo)时，gr(x)O, g(x)单调递增，”,lnxol所以 g(x)mi=g(xo)=In Xo +二I=Xo- 1 (2, 3).JCO L故k的最大值为2.3.(2023辽宁名校联考)已知函数/(X)=JdnX租x+加.(1)求八工)