微专题2 必要性探路.docx

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1、微专题2必要性探路【知识拓展】1 .必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某 个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再 在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2 .虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以 限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的 类别，降低思维难度.【类型突破】类型一取点探路X例1 (2023烟台模拟节选)已知人X) = InO+l)+(xNl),若於)Nln2恒成立, JL I求实数的取值范围.解必要性：对于八工)三加2恒成立，X即 In(Q

2、X+1)+ +%In 20 在(1, + 8)上恒成立.令 g(x) = ln(0x+1)+1 .一山 2，所以 g(l)=ln(Q+l)-ln220,解得充分性：当。三1时，x+12g(x) Nln-一+百工一 l(x 1).人x+1令 t=-2-三 1，则令 z(O = ln zt+-l(ztl), 11 t 1所以 h,(t) =-p=-p-(t 1),则Zz在(1, + 8)上单调递增, 所以Zz三z(l) = O,所以g(x)O恒成立，综上所述，1的取值范围是1, +8).规律方法 已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几 个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取

3、闭区间的端点，指数函数常取0 或1,对数函数常取1或e等.训练1已知人X) = QX2-4In(X1),对x2, e+l,火%)WI恒成立，求实数a 的取值范围.解必要性：因为对x2, e+l, H%)W1恒成立.即 x2-41n(-1) 10,令 g(x)=tzx2-41n(-1) 1,贝g(2)=4o1W0,贝IJa充分性：当 时,g(x) = ax141n(-1) 1 x2-41n(-1) 1,根据 InXNl(证明略)，在 x2, e+l-h,11 A(-2) (x2+-18) J1T1 =EB0所以 g(x)WO, P)1,故。的取值范围是18,类型二极值点探路例2 (2023济南模

4、拟)已知函数氏0 = 1口(%+1)一皿2(厂1)+1, 6z0.当=1时，求八工)在(0,+8)上的零点个数；(2)若关于X的不等式加X3) 直2(厂D WX-2(%1)一|在(1, + 8)上恒成立， 求实数，的取值范围.解 (1)当 4=1 时,f() = ln(x+1)+1 e2(x-,当 x(0, 1)时,f(x)=ln(x+1) +1 e2(x l)l e2(x l)l 1= 0,此时无零点.当 xl, +8)时，/=由一2e2(%F,当犬1, +8)时，/(%)单调递减，且/(Ml)=920,当xl,+8)时，0,2) = ln3 + l-e20时,3_人 (n D 2-x令加(

5、X) = Inl%一尸 I x_2 -1 ， xl, mf(x) = Px23当时，mf(x)0,加(X)单调递减，3当lx0,加(X)单调递增， 所以 m(x)mj = O.3e当 a0 时，x=29 ,e-2,2,则 el-?三0,即1一看三0,得iW2.综上，的取值范围为0, 2,充分性：当o0, 2时，InQ-习一 (X-习-l -ae2x 1-ae(xl)0, 当 tz0, 2时，e2(x-1)e(-l)e2-2e(-1).令(X) = e2LD-2e(-l), xl,贝 1J z(x) = 2e2L。-2e.当QI时，比(X)单调递增，且比0 = 2e2e = 0, 故当犬(1,

6、|)时,nx)0, g)单调递增，* zt(x)三= ee = 0,xl, n(x)0.由已知得 xl, ln(-(X1 O.，式成立，.iO, 2,规律方法1.已知人X)Wo(或式x)N0),找八工)的极大值(或极小值)点探路；2.对于火X)Wg(X),找八工)的极大值点，g(x)的极小值点探路.训练2已知10,函数“X) = Qx2-, g(x)=ln%.是否存在实数g,使火X)Ng(QX) 恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.解 必要性：令 9(x)=(x)-g(QX)=ax2%In x, x0,则 ,(x)=2axl-.因为夕日=0,又9(x)20,则(是8(%)的一个

7、极小值点，则g)=3解得4=1.充分性：当=l时,(x) = 2-l(2x+l) (X1)当0xl时,(x)1时,x)O,矶x)单调递增, 从而。(九)三0(I)=0,符合题意.综上，可知a=l.类型三保号性探路 例3已知函数八工) = 4JdnX一炉，其中R.若八工)在(1, +8)上单调递减，求正数o的取值范围.解 必要性：因为火X)在(1,十8)上单调递减，所以/() = lnx+4-0Gi = a(lnx 1 43-1)0 在(1, + 8)内恒成立.令 g(x) = In :+ 1 -a1,则 g(x)=lnx+l-x-1 Wo 在(1,+8)内恒成立，因为 g(i)=。，ga)=：

8、mD廿一2,则/(I)W0,即/(1)=13l)W0,则心2.充分性：因为。三2,所以一1三1,因为Ql,所以y一12羽贝IJ g(x)=Inx+1 x1 ln x 1 x0,所以 f(x)=a(ln x+1 x-1)0,则存在 心0,当|x。|0(注意它的逆命题是假命 题).Y3训练3 (2023武汉质检改编)已知函数X) = In(X+1)%亍 若当xl时， /(x)6ZX2,求实数4的取值范围.龙31解 必要性：令 g(x) = ln(x+l)-%一彳一qx2W0, gr(x)= I 1 -12ax, JI JLg(%)=一(二)2-2%-24,因为 g(0)=0, /(0)=0,所以

9、g(0)W0,则心一；.充分性： 当 心一3时，g(x) = ln(x+l)-%X2-jx2,1 犬3由三阶泰勒公式知In(X+1)1+%2一可忘0(证明过程略)，又g )2W0,.*.g(x) = ln(x+l)-x+x2-jx20,即 g(x)0.故实数的取值范围是；，+8).【精准强化练】一、基本技能练21 .已知不等式Qa x-6zln(x6z)-In -1，0恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：依题有。0,当 X=O 时，-InaalnaNO,解得 OWl.充分性：下面证明OWl时，题设不等式恒成立.2由。*三1+1(证明略)易得。x-la2x,只 需证明 6Z-ln(x6z)-I

10、n a0.设 g(x) = a2xln(x+)In a,则 g3=-M=l士)，则g()单调递增，令/(x) = 0,即 Ja卜0, 解得X=I。，所以当 X- 时，g(x)14 时，gr(x)O, g(x)单调递增，所以 g(x)min = g-j = (l-6Z2) + (1-)ln0, 当且仅当a=l取等号.所以证得d-gin(X+夕)-InaNO成立，当且仅当X=O, a= 1时等号成立.因此i(0, 1时，不等式e2-6zln(x6z)-In tz10 恒成立.2 .(2023杭州质检)已知函数/(x)=x(lnx+3ax+2) 3ax+4.若八工)在1,+8)上单调递减，求实数的取

11、值范围；若八工)的最大值为6,求实数a的值.解(1)必要性：由题意知/(x)=lnx+6ox+3 3。Wo在XNI时恒成立， 因此必有/(1) = 36z+30,即 -1.充分性：当。W 1时，由不等式InXWX1(当且仅当x=l时取等号)，有/(x)=In x+31(2x1) + 3 WX 1 3(2X1) + 3 = 5(1 x)0,此时符合题意.综上，可知(-8, 1,(2)由题意得火1) = 6.因为火X)W6,所以1为八工)的一个极大值点.又/(x) = InX+61x+3-31,因此必有了(I)=0,解得=1.当=1时，由不等式InXWX1(当且仅当X=I时取等号)，有f(x) =

12、x(ln -3x2) + 3x4x(-1 3x+2) + 3x4 = 6-2(-1)26,符合题 意.综上，可知4=-1.3 .已知函数0时，只需考虑0情况.由题意知“冷三。”是g(x)2(的必要条件.由4C,解得正三归+)由均值不等式有/三审+612心孔，即(g+l)b芍(当a+l=2b时取等号).存在, Z?满足(+l)b=,总有 HX)NlX2+x+b, a=el, b=坐,此时g(x) = ex-e-=ee-1 %J=O,当 X=T时取等 号.假设+l=0符合题意，此时(q+1M = 0.假设+10,此时/一号f0,不符合题意.综上，3+1)的最大值为N二、创新拓展练4 .(2023石家庄调研)已知函数/(X)=JrIn(X+1), g(x)=exxl.求人x)的单调区间；(2)若g(