微专题13 泰勒展开式.docx

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1、微专题13 泰勒展开式【知识拓展】1 .泰勒公式形式泰勒公式是将一个在X。处具有阶导数的函数利用关于(XXO)的次多项式逼近 函数的方法.若函数HX)在包含XO的某个闭区间4,句上具有阶导数，且在开区间(4,上 具有5+1)阶导数，则对闭区间小切上任意一点X,成立下式：.f (Xo) (-xo) , ff (xo) 9 . /(n) (Xo).x) =Xxo)+- -l +l2 (X-Xo)2HPZQ(-o)n+Rn(x)其中：/)(X0)表示/(X)在X=Xo处的阶导数，等号后的多项式称为函数人X)在Xo 处的泰勒展开式，剩余的尺(X)是泰勒公式的余项，是(xXO尸的高阶无穷小量.2 .麦克

2、劳林公式J(O)XJ (0) , ,1w (0) l)=o)+ +-/+炉+凡(龙)虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取Xo=O的特殊结果，由于麦 克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.3 .常见函数的麦克劳林展开式(。是高阶无穷小量)：(l)ex= 1 +x+o(xn工3X2G(2)sinx=x-+-H(-l T) !十(2n1)；-2,%62CoSX=I _57十万一十十(1)(2)！十(、巧;2 无 3n+l(4)ln(l +x) =-y+yH (。(炉 日);(5)JX= 1 +x+x2HHx+o(x)；ll l a (。- 1) C l(6)(l+x)oc=l + ax

3、+-X2 HZ a (。一 1)(。一+1) n!-X+。(X).4.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)X 1(1)对数型超越放缩：-ln X- l(xO);ln(l+x)=-x2+x3h ( 1 )n 1xn+R(x)( i ).上式(i)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)Wx(x一 1)结论，用x-l替换上式结论中的X得：InXWX1(%0)结论，对于结论左右两边同乘u- i-lnxl-xlnl-X,用,替换X得： XX1 ln x(x0)结论.指数型超越放缩：x+lej(xl);ex= 1 +x+(x)(ii).2! n上式中等号右边只取前2项得：el+x(xR)结论，用一

4、替换上式结论中的X得:exl-x(xR)结论，当x 1ex结论，e%1X当xl时，对于上式结论e- 1 x= 1 x=ex结论.el-【类型突破】类型一比较大小199IQ1例1已知Q=痂，b=e, C=In砺，则, b, C的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.bac(2)(2022新高考 I 卷)设 =0.1eL =, c=-In 0.9,则()A.abcB.cbaC.cabD.acb答案(I)C (2)C99991101解析(1)因为 e%Nx+l, InXWX1,故标一丽+1=而，c=ln 1006Z=XO.1)O.11O 5c=z(0.1)0.105 0, 故 bac.规律

5、方法 涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式， 可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用如下超越不等式或 其变形公式解决问题：JQ1X Wln x-l(x0), x+ lex1).训练1设。=InI.01, b=果 C=*,(其中自然对数的底数e=2.718 28) 则()A.abcB.acbC.cbaD.cbaB.bacC.abcD.acb答案(I)D (2)A解析 由InXNI等号当且仅当x=l时取到，故X=I.01时ac,排除A,B.下面比较a9 b大小,由 InX得，In 1.01 0.01 a,所以 CVa/?.(2)根据题意，构造函数次X) = I

6、一女，g(x) = cosx, z(X)=1产，则可以看到：1=0，=；)，c=dJ,由于0.25较小，所以对上述三个函数在X=O处进行四阶泰勒展开：x) = l-, g(x) = l#+卷一+o(4), z() = l京一+/-+o(4).显然，在 X=O.25 时，=人=gg)c=4J,故 abc.类型二证明不等式例 2 已知函数/(x) = In(X1)一左(X-I)+1.求函数HX)的单调区间；、十口口 2 l In 3 . 14 . l In n n (- 1) /*、，、证明： H0,贝 1 f(x)=-k I ,J、 -l-l当时，/(x)0,当 x+l 时，/(x)0. K综上

7、，当左WO时，火X)的单调递增区间为(1, +8),无单调递减区间，当Qo时，女)的单调递增区间为11, +1单调递减区间为&+1, +8).(2)证明 当k=l时，由(1)可知八工)的单调递增区间为(1, 2),单调递减区间为(2, + oO),有人X)W八2) = 0在(1,+8)恒成立，且八工)在(2,+8)上是减函数，即 In(X l)x1 一1 在 x(2, + 8)上恒成立.令 xl=n2,则 In n2n2-l,即 21n1)(+1),In nn 1* 1+V 2 SeN 且 1),.In 2 , In 3 , In 4 . In 1 . 2 . 3 . n-l n2-n,亍+广

8、产+/尹十=丁目口 In 2 IIn 3 I In 4 I . inn n (- 1)=3、工、即亍+丁+亨H1，N)成立.规律方法 在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔细观察，发现其中 所含的超越不等式，需证明后再用来解决问题.训练 2 已知人X)=InN1,证明：当 x(0, l)0t, )2+yj.2 尤3无无2 尤3证明 In (l+x)=-y+y-(-l)n1-, In(I-X)=-X一万一H(If呼+，(犬3jn 1、所以 In (l+x)-In (1x) = 2x+y 2nlj 故当x(0, 1)时，八%)2口+苗.【精准强化练】 一、基本技能练1 .已知 =e002,

9、=1.012, C=In 2.02,贝!)()A.abcB.bacC.acbD.bca答案A丫2 丫3 丫4YM解析因为F= 1+%+木+本+本+(+1)! e叫0el), 0 O72 0 023所以。2=1+0 02+半+牛+一心1.020 2, Z o=1.012= 1.020 1, C=In 2.02l, 所以ac,故选A.2 .已知实数i, b, C满足QC=且+b+C=In(Q+6),则(B.cbaA.cabC.acbD.bcO, HX)单调递增，当x(l,+8)时，/()0,火%)单调递减，所以0,所以 VO,由 6z+0,所以 b一0,所以方22,即QC次，所以ca,所以cab.

10、3 .已知 =sin, b=g, c=-9 则()33 兀A.cbaB.abcC.acbD.cab答案D%3 X5_解析 由 sinx=-+-H o(2n 1),可得 Xx3sin xO),所以si盖，；)，而詈心3.063.14兀，所以焉(，即sing 选D.IoZ 5 7i Jy4 .设 a=21nL0L b=ln 1.02, c=L04-l,则()A.abcB.bcaC.bacD.cab答案B解析 显然LOP.。？，故/?g(x),故4C,Q令函数 z(x) = ln(l+2x),由泰勒公式得，h(x) = 2-2x2o(x3),又 g(x) = 2x2x2+4x3 + O(X3),在 X=O 附近，h(x)g(x),所以 bc.综上，bc0；InXV犬；e%x+l.A.0B.1C.2D.3答案C解析 令x) =X-SinX, x(0, +oO),贝 IJ f(x) = I-CosxNO,所以火X)在(0, +8)上单调递增，所以/(X)火0) = 0,即 XsinxO,即元