微专题8 切线与公切线问题.docx

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1、微专题8切线与公切线问题高考定位 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较 小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.【真题体验】1 .（2023全国甲卷）曲线y=壬在点1,处的切线方程为（）eeA.y=-xB.y=xCeleCel 3eC.y=4x+4D.y=%+工答案C解析由题意可知产（+l）2=72 .（2020全国I卷）函数式X）=X42P的图象在点（1, Hl）处的切线方程为（）A.y= 2x 1B.y= 2x+ 1C.y=2x3D.y=2xl答案B解析i） = l-2=-l,切点坐标为（1, -1）,又/ （X）=4a3 62,所以切线的斜率=（l）

2、=4l3-6l2=-2,切线方程为 y+l = 2（-1）,即 y= 2%+l.3 .（2021新高考I卷）若过点（4,方）可以作曲线y=e，的两条切线，则（）A.e”B.eabC.OaebD.Obca答案D解析 根据y=e%图象特征，是下凸函数，又过点(小 份可以作曲线y=e，的两条切线，则点(Q, /?)在曲线y=e%的下方且在X轴的上方，得0。=(x+)e%有两条过坐标原点的切线，则a的取值范 围是.答案(一8, 4) U (O, o)解析 因为 y=(x+)ex,所以 y=(x+l)e.设切点为A(M), (xo+Q)e*o), O为坐标原点，(Xo+q) e%0依题意得，切线斜率 k

3、oA-y,x=x0=(xo+ + l)ex =,v(J化简得 x8+qxoQ=O.因为曲线y=(x+)e%有两条过坐标原点的切线，所以关于Xo的方程8+qxo=0有两个不同的根，所以/ =层+40,解得Q0,所以的取值范围是(一8, 4)U(0, +o).5 .(2022新高考卷)曲线y = ln IR过坐标原点的两条切线的方程为,答案 y=ex y=ex解析 先求当x0时，曲线=lnx过原点的切线方程，设切点为(XO, yo),则由y=得切线斜率为:，JiiJ又切线的斜率为蓝，所以解得 yo=l,代入 y=lnx,得 Xo=e,所以切线斜率为:，切线方程为CC同理可求得当x=一%.综上可知，

4、两条切线方程为=%, =L.CC【热点突破】热点一曲线的切线I核心归纳导数的几何意义函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.切点既在切线上，又在曲线上.例1 (1)(2023北京东城区模拟)过坐标原点作曲线y=e+的切线，则切线方程 为()A.y=xB.y=2xC.y=xD .y=ex(2)(2023西安模拟)过点(1, 2)可作三条直线与曲线段)=2 3%+。相切，则实数 的取值范围为()A.(L 2)B.(2, 3)C.(3, 4)D.(4, 5)答案(I)A (2)D解析(1)由 y=e-2+,可得/，=厂2,设切点坐标为(K ert+l

5、),可得切线方程为y(er2 +1) = er2(-0,把原点(0, 0)代入切线方程，可得 0 - (门2+1)=门2(0一。，即一De厂2=,解得=2,所以切线方程为y(e0+l) = e0(-2),即y=x.(2)/(%)=3 3+, /(x) = 3x2-3,设切点为(X0, xg-3xo+0),则切线方程为 y(X63xo+g) = (3x3)(-xo),切线过点(1, 2),则 2(x3xo6z) = (3%-3)(1 xo),整理得到=2喘一3x8+5,方程有三个不等根.令 g(x) = 2x3-3x2+5,贝i g,(x) = 6x26x,令 gx) = 0,则 x=0 或 x

6、=l,当犬1时,gr(x)0, g(x)在(一8, 0)和(1,+8)上单调递增；当 Oxl 时,gr(x)0, g(x)单调递减，极大值g(O)=5,极小值g(l)=4,函数y=4与y=2喘一3x8+5有三个交点，则45, 的取值范围为(4, 5).规律方法 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是 切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、 切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.训练1 (1)(2023 郑州二模)已知曲线y=xlnx+er在点x=l处的切线方程为2% -y+b=O,则 b=()A. 1B. 2C.-3D.0(2)(2

7、023南昌模拟)函数八%)=/ X在1=1处的切线平行于直线xy1=0,则 切线在y轴上的截距为.答案(I)C (2)-2解析(1)由题意可得yf=Inx+l-aex,根据导数的几何意义可知，在点x=l处的切线斜率为1=2,解得，=一e.所以切点为(1, -1),代入切线方程可得2+l+h=0,解得 =3.(2(X) = 3/一夕，由题意/(1) = 34=1,即 i=2,所以X)=X3-2x,则火 1)=-1,故x)在x=l处的切线方程为y( l)=-1,即y=x2,则切线在y轴上的截距为一2.热点二曲线的公切线I核心归纳导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为

8、 零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.考向1切点相同的公切线问题例2 (1)已知曲线0,使得曲线x) = 621n x与g(x)=x1-4ax-b在公共点处的切线相同，则匕的最大值为()a- 3e2C1c6?答案(I)B (2)DB- 6e2d解析(1)设曲线八X)=X2 2相和g(x) =31nx%的公共点为(XO, yo),f (XO) = g (XO),f (M) =gf(X0),R2m=3InXO-xo,3即 j 2xo=-1,A(JO,解得Xo=机=L 设曲线y=x)与y=g(x)的公共点为(X0, yo),6层V/(x)=, gx)=2x-4a96

9、q2.*.2xo4a=,贝xi2axo3/=0, XO解得Xo= a或3a,又 xoO,且 a0,贝! XQ=3a,V(xo)=g(xo),x-4xo- = 62lnxo, b= -3a26a2ln 31(0). 设 h() = b,.ha)=-12a(l+ln 3a),令Ka) = 0,得Q=卡.当 0O;当时，h,(a)0),若有且只有一条直线同时 与Ci, C2都相切，则=.小一 f3+ln2 )答案(1)L-，OJ (2)1解析(1)设直线/与曲线y=ln(-2) + 2和=ln(-l)分别相切于A(Jn,y),6(x2,2)两点，分别求导得y=一JCX i故/： yIn (xi -2

10、) 2=x), Xl L整理可得 y=jx+ln(x-2)+2-U5同理得 /： yTn(X2-1)=&1 -，整理可得 y=ln(x2 1) 因为直线/为两曲线的公切线，r 1 _ 1Xi-2 Xi-1,XZX2 1所以ViIn Cxi 2) +2 =ln (x2-1)I%1 2r 3“2 = 5,解得彳5?1=2,所以直线I的方程为y=2-3-ln2, 令 =0,则直线I与X轴的交点坐标为1号2,(2)设/与C相切于尸(, ex+x),与。2 相切于点 QcX2, -xi+2x+d),由G： y=e%+x,得y = e%+l,则与CI相切于点尸的切线方程为 y-exi - (ex + l)

11、(-x),即 y=Ml+e*)-xe* + e.由 C y2+2+0,得 y -2x+2,则与。2相切于点Q的切线方程为j+x5-2X2-6Z = (-2X22)(X-X2),即 y=x(2-2x2)+xL因为两切线重合，所以1+印=2 2x2,e*-e* = +x9,ex由得 X2= 2 ，代入得 4(1 x)ex=4tz+1 2exe2x,化简得 e2x-6ex+4xex = 1 4,可得Xl=0, 4=1时等式成立.故4=1.规律方法 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比 较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与 直线相切，再分析另一

12、条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.训练2 (1)(2023济南调研)已知定义在(0,+8)上的函数於)=2/+加，g() = -31n -,若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则加的值 为()A.2B.5C.1D.0(2)直线Z： y=hc+b是曲线“x)=In(X+1)和曲线g(x) = ln(e2x)的公切线，则b= ()A.2B.gC.lnD.ln(2e)答案(I)C (2)C解析(1)根据题意，设两曲线y=(x)与y=g(x)的公共点为(g, b),其中。0,由Xx)= 2x2+m,可得/(%)= 4%,则切线的斜率为k=f(a)=-4a,由 g(x)= 3

13、1n-,3 可得/(%)=一;1,Ji3 则切线的斜率为k=ga)=-l,因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，3 所以一4二一,一 1,3 解得a=或a=a(舍去)，又由g(l) = 1,即公共点的坐标为(1, -1),将点(1, 一1)代入人X)=-22+加，可得加=1.(2)设直线/与曲线X) = In(X+1)相切于点A(X1, y),直线/与曲线g(x) = In(e2x)相切于点B(X2, yi).V) = ln(x+1),则/(%)=由，lk由 /(x)= + =鼠 可得 XI=一,则 yi=n) = ln(xi + l)=In k, k 、1k即点可一,-In将点A的坐标代入直线/的方程可得一Ink=k1+6可得/?=左一In左一1,/ g(x) = ln(e) = 2+In X,则