微专题3 凹凸反转.docx

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1、微专题3凹凸反转【知识拓展】1 .凹函数、凸函数的几何特征图象上任意弧段位于所在 弦的下方的函数为凹函数图象上任意弧段位于所在 弦的上方的函数为凸函数图I图22 .凹凸反转很多时候，我们需要证明0,但不代表就要证明人x)nunO,因为大多数情况 下，了的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零 点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转. 如要证明#x)O,可把#%)拆分成两个函数g(x), h(x),放在不等式的两边，即要 证g(x)Z(X),只要证明了 g(x)min/Z(X)max即可，如图3,这个命题显然更强，注 意反过来不一定成立.很

2、明显，g(%)是凹函数，O(X)是凸函数，因为这两个函数的 凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零 点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和 多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用 隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数 和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最 值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组 合的函数的图象与最值.3 .六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识)

3、(l)x与e，的组合函数的图象与性质函数 /(x)=xe*)=1/W=最图象定义域R(一8, 0)U(0, +o0)R值域P +8)(oo, 0)U e, +o)i ；单调性在(一8, 1)上单调 递减，在(一1,+8)上单调 递增在(一8, 0), (0, 1) 上单调递减，在(1,十8)上单调递 增在(一8, 1)上单调递 增，在(1,十8)上单调递 减最值/(x)min=(-1) = 当 X0 时,)m1n=l)=e火 X)max=/(I)=1(2)X与InX的组合函数的图象与性质函数x) =JdnX“、InX - rv)-x 八,Inx图象定义域(0, +o0)(0, +o0)(0,

4、1)U(1,+8)值域T +8)i 3(8, 0)U e, +o0)单调性在1，T)上单调递减， 在g，+8)上单调递 增在(O, e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减在(0, 1), (1, e)上单调递减，在(e, + 8)上单调递增最值HX)min =(E)=x)max=(e)=当 xl 时，/(x)min=(e)=e【类型突破】类型一化为1舟型2ex例1已知函数/(X)=I+ (+l)x+lnx,证明：对任意x0, -+1 + (1+)九次犬).Xe2ex2证明 把x)代入化简，得lnx,tfLy2e* 2 Inx即证二().2e-2令 g(x)=二一(%0),El 2ex2 (X

5、2)则 g(%):当 x(0, 2)时,g(x)09 g(x)单调递增. g()最小=g(x)极小=g(2)=5,g(x),当且仅当=2时取等号.令 z(x)=(xO),G I-Inx贝 勿(X)= ,当 x(O, e)时,hr(x)O9 z(x)单调递增;当 x(e, +8)时,f(x)-(x0).设次X)=Jdn %(0), f(x)=lnx+l9当x(, J时，/()o,火%)单调递增,X 2 jc设 m(x)=-(x0),则 mf(x)=-r, 当X(0, 1)时，m(x)0,加(X)单调递增， 当 x(l, +oo)0f, mf(x)u恒成立.C vv类型二化为氤巴3型2ex1例2已

6、知函数於) = e%lnx+,证明：/(x)l.2e11V? r证明 要证明x) = e%lnx+1-l,两边同乘以短，得XlnX+公 JCCC CY 2 即证明xln x-JQ 2 令 z(x)=xlnx, g(x)=-T.由/(X)=Inx+1知，z(x)在(, F)上单调递减，在g +8)上单调递增, 所以 z(x)zQ=-;X而二知，g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减， 所以 g(x)g(l)=-.所以有 z(x)zQ = -=g( 1)g(x),又等号不同时取到，所以有(x)g(x),即次x)l得证.21训练2 (2023湛江模拟节选)设式x) = e，一2%

7、,证明：/x)+x2-y+l0.37r 证明把火X)代入化简得e%+f等+1O,37r 即证 ex-2+l,O当XWo时，左边O一九2+=-一1恒成立，O37光 当 x0 时，要证 ex-x2+-1, 即证;Q+F)+*,ex(1、 37令 g()=三，(X)=卜+j+9，eex (%1)则 g(X)=2，在(O, 1), gr(x)0, g(x)单调递增.所以 g(x)g(l) = e,又z(X)=,+()+曰-z(x),37r故当 xO 时，e*1 成立，O21综上，/(x)+x2-w%+lO 成立.类型三先放缩、再反转例 3 已知函数“X) = QJdnX+H 若 0Wl,求证：/(x)

8、ex-sinx+l.证明V(x) = dnx+2,所以待证不等式为 xlnx+x2O时,sin xx,，只需证 X2+xln xcxx+1,即证令 g(x) 1, g，(X)=(1 J (0O, g(x)单调递增；当 x(e, +8)时，gr(x)O, g(x)单调递减，易得 g(%)最大=g(%)极大=g(e) =7+l+h人 ex-+l(ex+l) (X2)令 z(x)= 芦 ，hf(x) =p ,当 x(O, 2)时,zr(x)O9 z(x)单调递增，e2-l易得 z(x)最小= z(x)极小= z(2)= -4一.1 (1、(已 + 1 ) (已4 )由于三_已+1=一皆)。,故式成立

9、，原不等式得证.tC JtC规律方法1.先放缩，再利用凹凸反转法证明不等式，实质是证明了强化了的不 等式，即证明了原不等式成立的充分条件.2.常用到的放缩(l)e%Nx+1(当x=O时取到等号)；(2)e%Nex(当x=l时取到等号)；InXWX 1(当X=I时取到等号)；(4)乎=(当x=e时取到等号)；(5)0sin xxtan、，一 j(X+1) (1-xln%)“十I _C训练 3 已知力=羡，求证：/(x)gr(x) = ex-1,令/(x) = 0,则 X=0,可得g(x)在(一8, 0)上单调递减，在(0,十8)上单调递增，.*. g(x)=cx-l Ng(O)=0,即 exx+

10、l,Y-I- 1也即当 x0 时，exx+1,即 1,C所以犬X)l+L2,ILBry (X+1) (1-1 xlnx)l C即要证/l+e2,只需证 1 Xxln x0),则 f(x)= Inx-2,当 (0, e2)时,f(x)O, ZL(X)单调递增，当犬(e12,+8)时，f(x)O9 ZL(X)单调递减，易 得 /(x)max = %(%)极大值=%(e 2) = 1 + e 2,所以有 l1jdnxl+e2,从而有 x)0),求正实数m的取 值范围.解不等式等价于e-(mx2+x+m)-Inx,令 g(x) = ex(mx2+x+m), h(x)=xln x,g(x) = e%(-1)(mx+m 1),令 g0, 11.m当0e1(2m+1) 1,e1解得当ml时，01,存在 g(l)z(l),从而不等式 e4nx+mx2+(1-c)xmO 不e恒成立.A1综上，当00),若x)有两个零点，则i的取值范围是()A.(0, 1)B.(0, 1( 11CD.，e_答案(I)C (2)A解析法一取=e,则於)=xe 乙,2nx .eg(x) = el+=j,仔