微专题5 洛必达法则.docx

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1、微专题5洛必达法则【知识拓展】洛必达法则觊：若函数於)和g()满足下列条件：/(x)=0 及 g(x)=O;在点a的某去心邻域内，HX)与g(x)可导且/(x)0; 717=4 那 zT心=7I=a8(2)器型：若函数x)和g(x)满足下列条件:在点a的某去心邻域内，八X)与g(x)可导且gr(x)O;T (X) .r7 z / (X) f (x) 7I=4 那 zT心T=/心F=A注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难 度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可 能因标准不同而不同.【类型突破】类型一利用洛必达法则求1型最值In V

2、 1例1 (2023广州调研改编)已知函数於)=17+二，如果当x0且xl时, X 1 X加)上*+求左的取值范围.解法一(参变量分离、洛必达法则)当 xo 且 x 时，HX)g+,X 1 Xwm In X l 1 InXl 左即-r+-7+一， x+1 X x1 Xt wm , JdnX l Y xnx 2xnx l Y也即上干+1UT=+i记 g(x) =2xlnx l-21,x0 且 x 1,E 2 (x2+l) lnx2 (1x2)2 (x2+l) ( lxz贝 U (T =(1-X2)rx+J记 z(x) = InXTI-A2X2+14x( 12则如)W+FP=E7PO,从而z(x)

3、在(0,+8)上单调递增，且 z(l) = O,因此当 x(0, 1)时,z(x)0, 故当 x(0, 1)时,gx)0, 所以g(x)在(O, 1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增.t , 、一 ，(2JdnX l 八由洛必达法则有g(x) = l 1-2l 1=12xlnx 21nx2= +FF=3即当 Xfl 时，g(x)f 0,即当 x0 且 x 1 时，g(x)0.因为Ng(X)恒成立，所以左WO.综上所述，上的取值范围为(一8, 0.法二(分类讨论、反证法)工 O、 Inx . 1由X)=E+3得危)一Inx KK,l-2(左一1)(X21)21n x+令 z(x) = 21n

4、x(左一1)(X21)(x0),1(k1) (X2+l) +2X则/(X)=.k (x2 1) (X-1)2-知,当0时,可得T与力(X)。； 当 X(l, +8)时，/()，,ttrInX从而当 x0 且 xl 时，/(x)-J-+JO, sp)+当 0 女0,x= 1l 5 g(l) = 2Q0,1 K所以当 X(1， j时,(左一1)(%2+1) + 2%0,故(X)0,而 z(l) = 0,故当 X，T)时，(x)0,可得力(%)0,而z(l)=O, 故当 x(l, +8)时，z(x)0, 可得上力(%)。，与题设矛盾 综上可得，化的取值范围为(一8, 0.规律方法 对函数不等式恒成立

5、求参数取值范围时，可采用分类讨论、假设反证 法.若采取分离参数的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、 极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解.洛必达法则 可连续多次使用，直到求出极限为止.训练1已知函数x) = e*-l-Q2,当XNo时，火X)No恒成立，求实数的 取值范围.解 当 =0 时，/(x)=0,对任意实数。都有HX)N 0；e* 1 X当Qo时，由0),贝 1J h,(x) =Xe%-e%+1,记 (x) = h,(x),则 f(x)=xexO, .,(%)在(0, + 8)上单调递增,/(X)勿(O) = O,.z(x)在(0, + 8)

6、上单调递增,z(x)Z(O)=0,gr(x)O, g(x)在(0, + 8)上单调递增.由洛必达法则知e%1 e%1 e% 1-= 2x =E=5,故 ,综上，实数的取值范围是(一8, 1,OO 类型二利用洛比达法则求荔型最值 例2已知函数x)=QX一jdn X.若当x(0, 1)时，x)0恒成立，求实数a 的取值范围.解 依题意，QX一xlnx20恒成立，即(-l)xlnx恒成立，又X-I0, .,. gW也T恒成立， -1令夕(%)=%(0, 1),. jc-l-lnx8= (%1) 2、令 g(x)=4-1In%, x(0, 1),卬(%) = 1：g(l)=O, “(%)0,即e(x)

7、在(0, 1)上单调递增.由洛必达法则知1xln X In XInxXE=r=丁丁=A丁Y?.*.(x)0,故 aW0,综上，实数的取值范围是(一8, 0.规律方法 对于不常见的类型0, , 8。，O0, 8 8等，利用洛必达法则求极限，一般先通过转换，化成1三型求极限.训练2 (2023潍坊调研改编)已知函数段)=2/+尢若(i,十8)时,恒有於)%3 a,求i的取值范围.解 当 (l, +8)时，火%)%3一，即 2ax3+xx3a,即 (2x3+l)x3-x,Z X即心不豆恒成立，X令 e(x)=23+(xD,.4x3 + 3x2- 1 叭X)= (2点 + 1) 26 夕(无)在(1,

8、 + 8)上单调递增,由洛必达法则知X3X 3x21 6x 1(X)= 2x3+l= 6x2 =12=2?.9(x)0时，h幻三0,求实数1的取值范围.角星(1) 9 f(x)=ex 1 +xex2x=(x+ l)ex2ax1, 加0在X= 1处有极值，(-l)=2tz-1=0,则 6z=.(2)当 x0 时，/(x)0,即 x(e-l)-tzx20, ex-1即 tz -, 令 z(x)= -(x0),. ex (X1) +1 hf(x) = F ，令 g(x) = e(-l)+l(x0),gr(x)=xexO,.g(x)在(0, + 8)上单调递增，g()g(O)=O, zr(x)O, z

9、(x)在(0, + 8)上单调递增，e% X 6入由洛必达法则知， -=j= 1, Wl,JL即实数。的取值范围是(一8, 1. Y的取值范围.2.设函数兀X)=Ie-L当我20时，兀X)WQX十厂 求 解(1)若 x=0, R;(2)若Q0,当一十，则Tr0时，mf(x)0,即加(X)在(0,+8)上单调递增,.*. m(x)m(0) = 0,zr(x)O,即 z(x)在(0, + 8)上单调递增,.g)Z(O) = 0,gr(x)O,即g(x)在(0,+8)上单调递增,连续两次使用洛必达法则，得xe%+e% _ 1g(“)xex+ex-1 xcx+Icx 2故 g(x)(xO).1Y故当O

10、WaW今XNO时，1ey7恒成立， 2ax+1综上，的取值范围是,3 .(2023武汉调研)已知函数 fix)=ax2xcos x+ sin x.(1)若4=1,讨论x)的单调性；当x0时，/(x)0;当 X(-oo, 0)时,/()0 时，有 f(x)0 时,2。，R(%) =(%1) ex-xsin %cos x+2X2令 9(x) = (-l)e%-XSinXcosx+2, %0, 9(X)=Xe%XCOS %=x(ex-cos x).Vx0, el cos x, . (x)0,.伊(九)在(O, + 8)上单调递增，.*.9(x)夕(O) = 0,g(x)0, .g(x)在(0, +

11、8)上单调递增， :由洛必达法则知 excos x2 e%SinXX =1=1,g(x)l,故 1Wl, ，实数。的取值范围是(-8, 1.二、创新拓展练PXY 1 A24 .设函数八工)=由，g(x)=3十三.(1)求八工)在(1,犬1)处的切线方程；(2)求证：对于VX(1, o), f(x)g(x).(1)解 f()=(,)2, HI)=热 /(1)=东.)(i, HI)处的切线方程为y(x1),即尸永x+l).(2)证明 令 z(x)=詈J(x+l), xl,YFX PC Y2 I 1 ) pX1(X)=-(X+1) 2 点5 - (尤+ 1 ) 3 0,所以(X)在(1,+8)上单调递增，zr()zr(l) = O,所以z(x)在(1,+8)上单调递增，z(