专题06 圆的方程（解析版）.docx

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1、专题06圆的方程考点预测1 .圆的标准方程(x-a)2 +(y-h)2 r2f其中(0, )为圆心，一为半径.2 .点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-份2=/，圆心为eg,3，半径为，则有(1)若点M(, %)在圆上TCMI=FO(Xo a)? +(y0-b)2 = r2(2)若点如 为)在圆外OlCMI r = (%-a)? +(y0 -b r2(3)若点 (x0, %)在圆内 OI CM | o(x0 -a1 +(y0 -Z?)2 2+石2-4厂0时，方程/+ 丁 +6+尸=0叫做圆的一般方程一,一一为圆心,I 22)LZ)2+e2-4尸为半径2诠释：-22 ,、 L

2、LD? ( EY D2 + E2-4F由方程f+y2+ 瓜+&+尸=0得 X + + y + =2 J I 2)4DFD E(1)当。2 +严-4/=0时，方程只有实数解1 = -5,y = -,.它表示一个点(一不,).(2)当。2 +炉-4厂0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2十七2-4厂0时，可以看出方程表示以(一2,_1为圆心，Lg+ EF为半径的圆.122 J 24 .用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于。、b、或。、E、尸的方程组.(

3、3)解方程组，求出、。、r或。、E、尸的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.5 .轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于 变量匹之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的 定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相 关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.(3)求轨迹方程的步骤：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

4、列出关于x,y的方程；把方程化为最简形式；除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；作答.例I. (2021广东佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习)已知两个定点A(-2,0),3(1,0),如果动点尸满足 = 2P耳(1)求点尸的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；(2)若直线Ly =匕+ 1分别与点/的轨迹和圆* + 2)2+(y-4)2=4都有公共点，求实数人的取值范围.【解析】(I)设 P(XM,由 IPd = 2PB,则 J( + 2)2+y2=2j(7)2 + y2,化简得：(-2)2 + y2=4:.P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.,1-2-31(2)直线/与圆(x + 2)

5、2+(y-4)2=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：4 = !一广，七2,解 2+l得卷，直线/与圆(x-2)2 + V=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：d = gHL2,解得A,综上，直线/ ：)，=履+1分别与P的轨迹和圆Q + 2)2 + (y -4)2 = 4都有公共点时，实数丘18,一总.例 2. (2021山东平邑高二期中)已知圆 M： X2 + y2 -2nx-6y + 2m + 9 = 0.(1)求?的取值范围；(2)已知点A(2,l)在圆M上，若圆N过点P(l,-),且与圆M相切于点A,求圆N的标准方程.【解析】(1)将X? +P? -2，?IX-6y

6、+ 2m+ 9 = 0变形为(JV-+(y-3)2 =m2 -2m ,由根2一2机0,得z2,所以m的取值范围是(7,0) _ (2,+).(2)将点 A(2,l)t入圆 M :丁+ / 一2侬一6y + 2m + 9 = 0 ,可得帆=4,所以圆M的方程为/ + y2-8-6y + 17 = 0,化为标准方程可得(x4)?+(y =8 ,故圆M的圆心为(4,3),半径为2五，设圆N的标准方程为(X4+(y,圆心为N(a,b),因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M . N三点共线，故直线AM的方程为柒=三I,即y = x-, 3-1 4-2把N(a,b)代入得力=。1，又由IANl=I PNI

7、=/可得，r2=(-2)2+(-l)2=(fl-l)2+( + 2)2 ，联立，解得 = l, Zj = O 所以r = a(1-2)2+(0-1)2 =2 ,故圆N的标准方程为(X-1): + /=2.例3. (2021重庆巴蜀中学高二阶段练习)在直角坐标系宜8中，直线/： x-3y-4 = 0,以。为圆心的圆与直线/相切.(1)求圆。的方程;(2)设点N(M,%)为直线y = -x+3上一动点，若在圆。上存在点尸，使得NaVF = 45。，求与的取值范围.【解析】(I)原点到直线/的距离为0-0-4+3所以圆。的方程为/+y2=4.OP 2(2)如图直线材与圆。相切，设“版则Sina =

8、Er加根据图象可知，N越靠近。点，ON越小，Sina越大，由 sin 45 = = OV = 22 ,ON 2设N(x,3r),由距离公式/+(3一力2=8,解得X =三立，3-币 372 2 例4. (2021江苏丹阳高二期中)已知圆C过坐标原点O和点A,2J),且圆心。在X轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点M(-10,0).过点M的直线/与圆C相交于P,。两点，求当aPCQ的面积最大时直线/的方程；a若点丁是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N,使得7MI =可川h若存在，求出点N的坐标, 若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为圆C过坐标原点。(0,0)和点A,2JJ),且圆心C

9、在轴上，设圆心C(G0),则J(-6)2+(2G)2=7,解得。=4所以圆心C(4,0),半径r= 4故圆。的方程为(x-4)2 + y2 = i6(2)设圆心到直线的距离为“，则PQ = 2-Q2=2ji6-d?.， Sv WQ = g I PQ d = J16-/. 16-，；+小=& ,当且仅当16-/=/，即d = 2j时等号成立，设直线/的方程为 = my-o,则圆心到直线的距离d=7彳=2企，解得加=典yjm +12所以直线/的方程为x = )，一 10,即x +半,y+10 = 0或X 芈y + 10 = 0假设存在N(皿)，T(x,y)t由网 I77，知|所=?叫代入得(X+1

10、0)2 + y2 = -(x-zn)2 +(y-) J化简整理得5/ + 5丁 _(18”? + 80)X-ISny + 9w29-400 = 0又点T在圆上，.x2-8x+y2=0,则(186 + 40)工 + 18町一962-92+400 = 018n + 40 = 0所以8 = 0解得 =0,但机无解，-9w2-9+400 = 0所以不存在点M使得7M=3过关测试一、单选题1. (2021广东深圳实验学校高中部高二阶段练习)若圆G ：*-1)2 + y2 =9和圆G ：* + 3)2 +(y + 2)2 =9关于直线/对称，则直线/的方程是()A. y = -2x-3B. y = -2x

11、+3【答案】A【分析】由题意可知直线/即为线段GG的中垂线，求出线段GC2的中点坐标和GG所在直线的斜率，从而可求的 直线/的斜率，即可得出答案.【详解】解：因为圆G：(x-l)2 + y2=9和圆C2：(x+3)2+(y+2)2=9关于直线/对称,所以直线/即为线段GG的中垂线，C1 (1,0),C2 (-3,-2),则线段C1C2的中点坐标为(-1,-1), M= zz7 =:,所以直线/的斜率A =-2,所以直线/的方程是y+l = -2(x+l),即y = -2x-3.故选：A.2. (2021广东广州奥林匹克中学高二阶段练习)己知在平面直角坐标系中，A, B两点的坐标分别为(U),(

12、0,4),若经过A, B两点的圆与X轴正半轴相切，则该圆的方程为(A. -8x-5y + 4 = 0B. x2 + -8x-5y + 16 = 0C. x2 + y2+4x-5y + 4 = 0D. x2 + y2-4x-5y + 4 = 0【答案】D【分析】先求出A8的中垂线，进而设出圆心CG,|),然后根据圆与X轴正半轴相切确定出半径，并且O,最后 根据圆心到A的距离为半径求得答案.【详解】由题意，AB的中垂线为y = ,则设圆心为c(4,又因为圆C与X轴正半轴相切，所以半径r = MO.于是，r=CA= J/+(g 1)=弓= =2.所以圆的方程为：(X一2+(y_g) =-x2 + j

13、2-4x-5y + 4 = 0.故选：D.3. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)圆(x-lf+(y + 2)2=2关于直线y + l = 0对称的圆的方程为()A. (x+1)?+(y-3)2 =2B. (-l)2 + (y + 3)2=2C. (+3)2+(j-2)2=2D. (x-3)2+(j + 2)2 = 2【答案】C【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.【详解】 圆(x-l/ + (y + 2)2 =2的圆心(1,-2)半径为应，由/：4-丁 + 1 =。得M = I设对称点的坐标为(肛)，利用 + 2/ +

14、/7 + 1=0/n - w + 5 = 077两圆心的连线弓宜线垂直,两圆心的中点在直线上列方程求解，C ,化简得m + n-2 ,八 + 1 = 022tn = -3解得T所以对称圆的方程为(N)X-F.故选:C.4. (2021.福建省福州第一中学高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值2(ll)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系Xoy中,Pj 1A(-2,0),(4,0),点夕满足,设点尸的轨迹为C,则下列说法错误的是()d ZA.轨迹C的方程为(x+4)4y2=16PD 1B.在X轴上存在异于AB的两点RE,使得H = ZC.在C上存在点M ,使得IMa = 2|八例D.当4伐。三点不共线时，射线P。是NAP4的角平分线【答案】C【分析】根据题意，设点坐标，结合两点之间的距离公式以及角平分线的性质，一一判断即可.【详解】/、 PAl J(x+2)2 + y2 1.对于选项A,设P(x,y),由筋=5，得1j2=5,化简得(x+4)+y-= 16,因此A正确;PD 1/、/、