专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题（原卷版）.docx

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1、专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj, b= (x2,y2,z2),则r I(1)a + h= (xi + X2,yl+ y2l+ Z2).X *(2) a- b = & -赴，M-必，-z2)(3) / a= (/ x1,/ JpZ zl).r 1(4) ac!b xix2 + j,y2 + z1z2.(5)若功为非零向量，则之 bfa b - 0? x1x2 J1 y2 + zlz2 = 0 .(6)若b I 0 ,则5/? a lb? XJ / x2, jl = I y2tz, = I z2.(7) a = yfa2a JAf + N；

2、+ z；.(8) COSJ = = ,X，产_：向W M + y； + z： ?JR + z；(9) A(xpypz1), B= (x2,y2,z2),则ab =:B = J( -芭一+ (力-犷 + 一/.2.在空间中，取定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量aUUUi rr表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点R ,有AR = S ,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空

3、间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向 r 1uuu r 1量分别为 , b R为平面上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得OR= m+ yb ,这样点O与 向量;，力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量： IlUUIlIal若A、B是直线/上的任意两点，则A8为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线/的方向向量.平面的法啊量：若向罩：；?所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂直于平面。，记作7人。，如果,人。， 那么向量叫做平面的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设

4、平面a的法向量为7= (x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标= (6fj,2,a3), h= SI也也).、r r根据法向量定义建立方程组上?； 0.nlb 0解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.(如图)6.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线44的方向向量分别是：、力，则要证明44，只需证明；，即：二2方/？ R）.即：两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行（用一）设直线/的方向向量是，平面的法向量是：，则要证明/4 ,只需证明打 1 即拓0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平

5、面内找一个向量与已知直线的方向 向量是共线向量即可.面面平行111 1若平面的法向量为“，平面力的法向量为V ,要证a Z?,只需证y,即证=/y.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线/的方向向量分别是：、1，则要证明4人4，只需证明力，即:?力0.即：两直线垂直O两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线/的方向向量是），平面的法向量是;，则要证明只需证明11 1 1，BP a = Z w.（法二）设直线/的方向向量是0,平面。内的两个相交向量分别为:、;，若、 ITIalm O rllIr r ,则.aln O即：直线与平面垂直=直线的

6、方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为i平面b的法向量为；要证1八人 只需证；，即证力?； 0.即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1. （2021.山东.高二阶段练习）如图，已知四棱锥尸-A88,底面是矩形，且尸A_L平面ABCD, E、尸分别是A3、PC的中点.（用向量法解决下列问题）（1）求证：殍1 , AP Af）共面.（2）求证：EFLAB例2.（2021全国高二课时练习）如图，已知在正方体ABCD-A8G5中，M, N, P分别是AG, BD, 8C的中点，利用向量法证明:(1) MN平面 CCiDiD;(2)平

7、面 MNP平面 CGz)ID.例3. (2021 北京通州.高二期中)在空间直角坐标系。冲Z中，已知向量45 = (1,0,0),AC = (0,2,0), A。= (0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量 ；(2)求平面BCO的法向量；(3)求点A到平面BCo的距离.过关测试一、单选题1. (2021四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中，已知A(Tj3),则 点A关于XoZ平面的对称点的坐标为()A. (lJ,-3)B. (-1,-1,-3) C. (-1,1,-3)D. (-1,-1,3)2. (2021全国高二课时练习)已知.A5C的三个顶点分别为A(IJO

8、), B(0J,2), C(2,lj), 则BC边上中线的长度为()3A. !B. 1C. -D. 2223. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,ywR,向量a = (x,l,l), 6 = (l,yl), c = (2,y2), 且力入bc贝山+卜()A. 22B. C. 3D. 44. (2021全国高二课时练习)若: = (x,2y-1,-是平面。的一个法向量，且6 = (-1,2,1),； =与平面CC都平行，贝IJa等于() 27 53 1( 953 a-豆LMRB-立一米一句c（9 27 1（911、C H?豆LMD卜豆，米一向5. （2021.山东烟台.高二期中）已知空间向量

9、a = （2,-2,T）, 6 = （3,0,1）,则向量在向量。上的投影向量是（）6. （2021.全国高二课时练习）已知M八寸是空间的一个单位正交基底，若向量，在基底下的坐标为（3,2，1），则它在基底下的坐标为（）.7. （2021福建三明高二期中）已知正方体488- A8GR的棱长为小 定点M在棱AA上 （但不在端点A, B上），点尸是平面ABC。内的动点，且点P到直线AA的距离与点P到点M的距离的平方差为/,则点P的轨迹所在曲线为（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8. （2021 .辽宁葫芦岛.高二阶段练习）已知正方体ABs-ABCQ的棱长为4,点E是棱CG 的中点，动点P在正方

10、形AAIqB内（包括边界）运动，且PA 平面BDE,则尸C长度的 取值范围为（）二、多选题9. （2021河北石家庄市第十二中学高二期中）在空间直角坐标系Oxyz中，以下结论正确的是（）A.点A （1, 3, -4）关于X轴的对称点的坐标为（-1, 3, 4）B.点尸（-1, 2, 3）关于XOy平面对称的点的坐标是（一1, 2, -3）C.已知点A （-3, 1, 5）与点B （4, 3, 1）,则AB的中点坐标是（g,2,3）D.两点M（-l, 1, 2）, N （1, 3, 3）间的距离为310. （2021广东佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高二阶段练习）已知点P是平行四

11、边形ABC。所在的平面外一点，如果AB = （2,Ao = （4,2,0）, AP = （T,2,T）,下列结论正确的有（）A. AP A. AHB API. ADC. AP是平面ABCO的一个法向量D. APBD.(2021.全国高二课时练习)如图，在长方体ABa-AKGR中，AB = 6aD =币AA点P为线段AC上的动点，则下列结论正确的是()A.当C = 2AP时，B, P1。三点共线B.当 APJ时，AP _LAPc.当AC=3A户时，AP平面8。GD.当 AC = 5,P时，D1P-BC1 =-112. (2021全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，NBAe = 9

12、0。，AB = AC=AA =2, E,尸分别是BC, AG的中点，。在线段用G上，则下列说法中正确的有()B.若是MC的中点，则比_LFC.若注在平面ABC上的投影向量为则E8C = 2D.当cos(8DEr) = M时，线段Bf)的长为述三、填空题13. (2021河北.石家庄市第四中学高二阶段练习)已知点4、氏C、O的坐标分别为 (0,l,2),(l,2,3),(l,3,D,(x,5,3),且 A, B, C,。四点共面,则X =,14. (2021四川省宜宾市第一中学校高二期中(理)已知空间直角坐标系中三点A(2,1,3), B(4,2,3), C(3,3,2),则三角形ABC的面积为

13、.15. (2021广东.广州市协和中学高二期中)在如图所示的试验装置中，四边形框架A8C。为 正方形，45所为矩形，且BE = 3AB = 3,且它们所在的平面互相垂直，N为对角线3户上 的一个定点，电2FN = BN ,活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当MEMN取最小值,I AM I , “时，TTKT的值为IACl16. (2021全国高二课时练习)已知0(0,0,0), A(l,2,3), 8(2,1,2),尸(1,1,2),点。在直线OP上运动，当QVQB取最小值时，点。的坐标是四、解答题17. (2021全国高二课时练习)在三棱锥P-ABC中，平面AAB_L平面ABC,PA =

14、 PB = CA = CB = 30AB = 6,。为线段A3的中点，点E, F , Q分别在线段AP,1121AB, AC上，且AE = GAP , AF =彳AO.若尸。=PC,以。为坐标原点建立如图所3333示的空间直角坐标系.(1)求点。的坐标；(2)用向量法证明平面EFQ平面POC.18. (2021全国高二课时练习)已知向量A8 = (1J1), AC = (1,2,-1), 4) = (3,F1).(1)若AO_LAC,求N的值；(2)若A、B、C、。四点共面，求丁的值.19. （2021全国高二单元测试）如图，在四棱锥P-ABa）中，底面ABC。是矩形，PA_1平EfABCO, M. N、R分别是AB、PC、Cz）的中点，求证：（1）直线A/?/平面尸MC；（2）直线MN_L直线A8（用向量方法）20. （2021福建莆田第七中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC = 3, C = 4, AB=5, AA=4 ,点。是AB的中点.向量法求证：（2） AG平面CO局.21. （2021河北藁城新冀明中学高二阶段练习）如图，在正方体AbCO-A4GA中，E、尸分别是8片，Co的中点，