专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）（解析版）.docx

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1、专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2】利用等体积法求点面距8考点清单02异面直线所成角12【考试题型11异面直线所成角12【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围16【考试题型3】已知线线角求参数19考点清单03直线与平面所成角21【考试题型1】直线与平面所成角（定值）21【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）25【考试题型31直线与平面所成角（探索性问题）31考点清单04两个平面所成角36【考试题型1】两个平面所成角（定值）36【考试题型2】两个平面所

2、成角（最值或范围）41【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）49一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图，已知平面。的法向量为，/4是平面内的定点，P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。，则是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ =| AP=I=Pnnn知识点02：用向量运算求两条直线所成角已知。，人为两异面直线，A, C与B,。分别是。，上的任意两点， 。，b为所成的角为夕，则AC BDaC BDcos = cos =cos = j-.IACIlBOlIACH 8。y知识点03：用向量运算求直线与平面所成角设直线/

3、的方向向量为，平面a的法向量为，直线与平面所成的角为。，CI与U的角为少，则有COS0 =猿彳Sine = Icose =上曲.（注意此公式中最后的形式是：Sine）知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A，PB工0于B，平面交/于E，则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8 + ZAP8 = 180 .若4 %分别为面。，夕的法向量cosed/=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I 1 Il 2 I若二面角为锐二面角（取正），则COSe=ICOS1；若二面角为顿二面角（取负），则COSe = -ICoSVnI,%|；三、典型例题讲与练考点清单Ol点到

4、平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】(2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中)如图，正方体ABcd-ABCA的棱长为2, E为线段。的中点，尸为线段B瓦的中点，则直线FG到平面ABIE的距离为.【详解】AE/G，尸GU平面ABE, AEU平面AqE,. FC1/ABiE,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点G到平面AB1E的Ef漓，如图以O为坐标原点，DA所在直线为X轴，OC所在直线为y轴，OR所在直线为Z轴，建立坐标系,则 A(2,0,0), 4(2,2,2),G(0,2,2),打0,0),尸(221),F =(-2,0,l), AE = (-2,0,1),

5、 AB1 =(0,2,2), ClBt =(2,0,0),设平面ABl E的法向量 =(x, y, z)fi - AE = -2x + z = 0n-ABl =2y + 2z = 0另z = 2,则7 = (1,-2,2),设点G到平面AqE的距离为d,故答案为：g【典例2】(2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习)已知正三棱柱48C- AUG的所有棱长均为2, 。为线段CG上的动点，则A到平面AiBD的最大距离为.【答案】2【详解】取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-AqG为正三棱柱，所以AE_L8C, AAJ平面A8C,因为AEU平面ABC,所以A1LAE,所以以A为原点，AE

6、所在的直线为轴，AA所在的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC- AlMG的所有棱长均为2, 所以 A(0,0,0),8(1,5,0),C(T,I),A(0,0,2)，设。= W(OKm2),则 0(1,后,，所以 A8 = (1,3,0),B = (l,3,-2),BD = (-2,0w),当机=O 时，BD = (-2,0,0),设平面A8。的法向量为 = (,y,z),则nA.B = x + 3y -2z = 0_/-,令z = L 则 =0,2,，n BD = -Ix = H7设A到平面4/。的距离为，则J A823221d = l - l=,n4 + 37当T

7、MWO时,设平面ASD的法向量为百= (,b,c),则n AiB = a + 3b-2c = 0( 4-m 2、 _. 令 = l,则=I,一, BD = -2a + me = 0k j3m f)设A到平面4/。的距离为“，则4-ndAB 1 + - W p4 V 3 trr4 3m2 +16-8/?i+w2 +12JmT）2+6，所以当机=1时，d取得最大值专=应,所以A到平面AB。的最大距离为, 故答案为：近【专训11】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）在三棱锥尸-ABC中，PC，底面 ABC,/8AC = 90,AB=AC = 4,/PBC = 45 ,则点 C 到平面 BAB的距离

8、是.【答案】6 3 3【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，A则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),p(0,4,4), 所以 AP =(0,4,42), = (4,0,0), PC =(0,0,-4).设平面RAB的一个法向量为 Z = (X,乂 z),mAP = O, 则z = 0, 4x = 0,46令Y =叵,则z = T,所以加=仅,应,一1), pC-m所以点C到平面PAB的距离为d = Lrr-网3故答案为：还3【专训l2*2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC /平面ABCD,底面ABCO是边长为2的正方形，二PB

9、C是等边三角形，M, N分别为A8和PC的中点，则平面OMN上任意点到底面ABC。中心距离的最小值为.连接AC,8。相交于点0,。点为底面ABCZ)的中心，取5C中点为E,连接EaEP,则EP_LBC,因为平 面尸8C上平面48CD,则EP/平面ABCO, 以点E为原点，分别以EaEaE户为XMZ轴正半轴，建立如图所示空间百角坐标系,且底面48C。边长为2, PBC是等边三角形，则。(2J0),M(l,TO),C(OJO),P(0,0网,则 N3,0(1,0,0),则 MN= -1,-,DN-2,总,O。= （IJO）,设平面OMN的法向量为=（乐y, Z）,、33n MN = -x + -y

10、 + X- Z = O2 2r,解得，-13DN = -2xy + z = 022X = -2y1- ,取 z = 7 ,则 y = -3 , 3z = -Jyx = 23,所以=仅有,-6,7）,旦平面力MN上任意一点到底面ABa）中心距离的最小值即为点。到平面Dn J3 3DMN 的距离，则 d = jj = -j= =- 64 o故答案为：立 8【考试题型2利用等体积法求点面距 【解题方法】等体积法【典例1】（2023上上海高二校考期中）已知三棱锥P-ABCPA = P8 = l, PC = 2 ,且Rt PB、PC两两垂直，则点P到平面ABC的距禽为.【答案】吸加 【详解】设点P到平面

11、ABC的距离为d因为PA、PB、PC两两垂直，且尸A = P8 = 1, PC =近,所以 A5 = , AC = 3 , BC = B S 么 Zi=IXIxl = ；, 在 JIBC中，CoSC =罢乎=|，所以SinC = Mly =岑所以XSinC = x 冷=4 所以 VP-ABC = VA-PBC = ；X与 h = O应解得：h =叵.5故答案为：叵5【典例2】（2023上山西大同高二统考期中）在长方体ABez）中，DA=2D4 = 2OC = 2,E,尸分 别是棱AB,CG上的动点（不含端点），且AE = b,则三棱锥4-0防体积的取值范围是.【答案】罟【详解】法一：以。为原点

12、，分别以亶线以DCDA为苍Mz轴建立空间直角坐标系)一%.如图所示，设 E( 1,办 O) (O V m ,I= 2(z-z+l)设ADEF中的EF边上的高为h ,则h = J DE |2-rm l 2nr +m+2S DEF =婀力 KM?- + J病+m + l Iyjm4 +m2 +1 所以匕W)M诋d = /(0 2 1),所以三棱锥A - DEF的体积的取值范围是故答案为:法二：设4E = CF = x(0xl),延长BC到G,使得CG = ,WiJtanZCFG = -=- CF 2tan ZC1CB1 =CC1 2则 NCR7 = NCC4,于是尸G /80,而长方体ABCo-A

13、4GA的对角面A1BC。是矩形，则有4Q80FG, 又ADU平面AOE,尸Ga平面AQE,于是FG平面A。所以产到平面4。E的距离等于G到平面DE的距离，12由等体积法可知匕 _)所=%_,他 = -AlDE = -DEG =，S .DEG=,SDEG IS =S -S -S。+ 1+彳)xl xx (l-x)(l+-) 1 2乂 “ADEG - J梯形ABGD DE CD2, x2* , =，, =十 2222 4【专训11】(2023上山东高二校联考期中)将边长为2的等边JWC沿8C边中线AO折起得到三棱锥 A-BCD,当所得三棱锥体积最大时，点。到平面ABC的距离为.【答案】叵7【详解】由题意知：当Cz)J时，三棱锥A-BCQ有最大体积，此时：BC = 4bD2 + DC?=e所以：SwC= gBCJa8?-()=*SBCD=QXBDX