三角函数求w问题的一类必备解法 (1).docx

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1、三角函数求W问题的一类必备解法一.基本原理在三角函数/(%) = ASin(皿+0)图象与性质中，W对整个图象的性质影响是最大的! 毕竟，可以改变函数/(X)的单调区间，极值个数，零点个数等.因此，对W的取值范围 的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直 观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷U题，三卷12题等，2022年 甲卷11题等.所以，对W的取值范围的系统研究有助于学生进一步突破三角压轴！特别地，在这类问题中，尤以下面这类题目出现频率最高，即定区间上知0,再结合 函数性质求W的取值范围.具体说来，在这类问题中，我认为最好的处理

2、方法就是换元，通过换元将W对图象的 影响转化为W对y = Sin1的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们 最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1 .正弦函数y = sinx,xH的性质.(1) .定义域：R.值域：SinjV -1,1.(3) .周期性：周期函数，周期是2左匹(左Z且左0),最小正周期为2.(4) ,奇偶性：奇函数，其图象关于原点对称.单调性:增区间：(-1 2k, % + 2kXk Z)冗 3 yr减区间：% + 2k兀F + 2k)* e Z)JT(6).对称性：对称轴：x = - + kXkZ),对称中心：(Qr,0),(左Z)2.

3、余弦函数y = cosx, XWR的性质.(1) .定义域：R.值域：cos% -1,1(3) .周期性：周期函数，周期是2左心(左Z且左0),最小正周期为2.(4) .奇偶性：偶函数，其图象关于y轴对称.(5) .单调性：减区间：(2Qr,% + 2Qr),(kZ)增区间：(%+ 2左肛2%+ 2左),(左 Z)4.正弦型函数y = ASin(5 + 0), A 0,x H的性质.(1) ,定义域：R.(2) .值域：-A, A(3) .周期性：周期函数，周期是72IGlJT(4) .奇偶性：当0 = QrZ时为奇函数；当O = Qr土万,左Z时为偶函数.TTTT(5) .单调性：当0时：-

4、2kx + + 2k,kZ ,求解增区间.Ji34 + 2k x + + 2k, kZ 9 求解减区间.当外0,xR的性质.(1) .定义域：R.(2) .值域：-A, A(3) .周期性:周期函数，周期是7rIGlJT(4) .奇偶性：当O = Qr次Z时为偶函数；当0 = Qr,左EZ时为奇函数.(5) .单调性：当0时：令2k兀4x + 4兀+ 2k兀，keZ ,求解减区间.令万+ 2Qrm + 27r + 2QrZ,求解增区间.当Q0,函数/(x) = Sin(Gx +一)在(一,1)上单调递减，求W的取值范围. 42分析：(1)最大的增，减区间占半周期可求W的范围；(2) (,1)是

5、最大减区间的子区间.解析：x(-=+ -(-+ ,+),由于 w0,故欲使得了(x)在区24244间(工递减,只需使得y = sin在(丝+工,如+马递减，(+ -,+-)(-,-)224424,4,2 2即可解得.2 .已知最值求w .例2.函数/(x) = 2sinGx + ?j(G0),当x 0,1上恰好取得5个最大值，则实数。的取值范围为()9 251)19乃 27乃)33 4br41 50万)L 4 4 JL 22 JL 44 JL 44 J【答案】C3 .已知对称轴求w.TT例3.已知函数/(X) = SinoC+ )(G 0)的图象在(0,)上有且仅有两条对称轴，求W的 64 7

6、取值范围.(？，3 3变式：图象在0,上有且仅有两条对称轴，求W的取值范围.4 .已知零点求w.例4.7sin - x, smx,b =SinBX其中Q0,若函数/(X)=晨)一；在区间(匹2)内没有零点,则的取值范围是()A.D.58【答案】D5 .求W综合问题例5.(2019全国3卷)设函数/(x)=SilI(S: + ) (。0),已知X)在0,2句有且 仅有5个零点，下述四个结论： /(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点/(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点10 29/(力在(0,)单调递增出的取值范围是三,)其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.【答案】D解析：当x0,2万时，

7、gx + + y , /(x)在0,2刈有且仅有5个零点, 5 2 + - 6, .e. 一 一,故正确，由5r2rG + 工,即qv3 , -0),若对于任意实数巴/在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是()8 16L 161匚 208 20)A.B. 4, C. 4, D.L3 3 JL 3 JL 3 JL3 3 J【详解】令/(X)=。，贝!)sin(Gx+。) = ；,令t = )x + ,贝Jsin=g,则问题转化为 = sin/在Ji 3n1区间 - + , + 上至少有两个，至少有三个3使得SinUX ,求0的取值范围._44 J2可知使得SiIW=I的最短区间

8、长度为2,作出y = sin,和 =；的图像，观察交点个数，2最长长度为2万+ ；万，由题意列不等式的: 2 + - 3解得：4g0)在0,句内有且仅有两个零点，则的取值范围是()。57 5、f 7 517 5、A.B. C. ,- D. -(6 2J16 2)(12 4J112【详解】由/(X)=。得sin(2s-g)=:，而当x0,旬，。0时, 2 X 2 兀G) , 32l j333又SinE = Sin苧= Sin学=2，函数/在0,句内有且仅有两个零点，于是得 6662-2-, 解得二gO, X A)在0,句内有且仅有三条对称轴，则。的取值范围是()5回 3,J【详解】/(x) =

9、T3sin2 6 . c IC .U ncos + cos x=sin 2x +cos 2x = sin 2x+-当x0时，25 + J,2w + /,函数/(x)在0,句内有且仅有三条对称轴，则有 O OOJr STr 7TT7 52wr + g?,?)，解得gJ3),故选：B. 62 26 34 .已知函数小)= Sin(S-g)(G0),若/(”在日离上无零点,则的取值范围是()A. /SJ ,9pb,9j c 9Ju9, K, 195? +【详解】由题意得=-W =兀4 =巴，得O0l,由得222 coIJCDX3 3 T3,2_7，因为“X)在兀32,T上无零点，所以7。兀 兀E 2

10、3/7,、3。兀(左 1)兀 (左 e Z ),解得 左(左 67Z),当左二O 时，一gV-,当左二1 时， g 9232 339392QO当左=1时，无解，因为O0l,所以Gg或。0),则下列结论正确的有(A.将函数y = 2sin5的图象向左平移3个单位长度，总能得到y = ()的图象O2冗B.若。=3,则当 0, 时，的取值范围为1,2C.若%)在区间(0,2)上恰有3个极大值点，则;66D.若)在区间生(|)上单调递减，则loq【详解】由题可得/(%) = sins + ej + sins4 + coss-sin x- cos x +sin x- cos x + cos x = y3 sin cox + cos cox =2Sini x + 2222I 6J对于A, y = 2sin s向左平移E个单位长度为y = 2sin2sin + V,故不一定能得至Uy = x)的图象，A错误;对于 B, G = 3, XE O