【正文·精校版】第02章 一元二次函数、方程和不等式章.docx

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1、第2章一元二次函数、方程和不等式模块1不等式与二次函数()内容提要本节包含不等式性质、一元二次不等式、一元二次方程根的分布三部分内容.L不等式的性质(1)对称性：a b = b C CL;(2)传递性：a b且b c c；(3)可加性：aba + cb + c;(4)可乘性：a b且C O ac be； a b且C c b 且C da + cb + d;(6)同向同正可乘性：a b O且C d O ac bd；(7)可乘方性：abOan bn(n N*).2 .二次函数与一元二次方程、不等式的解(以平方项系数 O为例)J OJ = Ox方程a/ + bx + c = O的实根两个不等实根和%2

2、(%1 O的解集x X X2xlx-)R不等式a/ + b% + c O的解集x X1 X b,则小 c2B.若 b, c d,则 c b dC.若 b, c d,则GC bdD.若 b, c d,则 + c b + d答案：D解析：A项，当C = O时，ac2 = bc2,故A项错误；B项，同向不等式可以相加，但不能相减，所以B项不对，下面举个反例，取 = 2, 6 = 1, c = 3, d = 1,则 c = 1 b + d,故D项正确.反思取特值检验不等式只能结合排除法用.若将特值代入不等式不成立，则此选项必定错误：反 之，若特值满足不等式，该不等式却不一定恒成立.例如，本题的选项B中

3、，若取 = 4, b = L c = 0, d = -1,则满足 c b d,但止匕不等式不是恒成立的.例2(多选)已知0b0c,则下列不等关系正确的是()C.(c + 2) b(c + 2)D.a6 + c2 ac + be答案：BD解法1：给出了0bOc,可考虑由此取特值来检验选项，用排除法选答案,取 = 2, 6 = 1, c = 2,则 =七，-所以故 A 项错误； a-c 4 a 2a-c a又G(C+ 2) = b(c+ 2) = 0,所以C项错误，此题为多选题，故选BD.解法2: A项，直接观察不易判断是否正确，可作差比较，上，= (y)=弃半 a-c a ia-c)a ia-c

4、)a因为 b O c,所以 b O,故 2 =，C 0,所以上&,故A 项 a-c a (a-c)aa-c a错误；C 岳 b-ca-c匕(匕一c)-(-c)b2-bc-a2+ac(b+a)(匕一)-c(匕一)(b-a)(b+a-c)B ，a babababab因为 b 0 c,所以0b 0, b a 0,故上 一 匕 =(匕-)(匕+-c) V 0, a bab所以b两端同乘以了c+ 2,当c 0时c+ 2可能为负，若为负，贝Ua(C + 2) b 0 c,所以 b c 0, a c 0,故“b + C2 (GC + be) = (& - c)( c) 0,所以0b + c2 ac + be

5、,故 D项正确.总结(1)判断不等式是否成立这类题，特值法是取巧的办法，而若要推证，则应严格按照内容提要中 所列的几条不等式的性质来进行等价变形；(2)当两个数无法直接看出大小时，不妨考虑作差比较.类型n： 一元二次函数、方程、不等式的关系例3不等式=2+ 3%-4 0的解集为()A.(8, 4) U (19 + )B.(8, 4 U 1 ? + )C.(-4, 1)D.-4, 1答案：B解析：要解一元二次不等式，先解对应的一元二次方程，再画出对应的二次函数的大致图象来看, 由2 + 3% 4 = 0可得(K + 4)(% 1) = 0,解得：% = 4或 1,所以二次函数y = x2 + 3

6、x- 4的大致图象如图，故不等式/ + 3x - 4 0的解集为(一8, - 4 U 1, + ).反思上面的过程给出了解一元二次不等式的基本原理，熟练后可直接将/ + 3x- 4分解因式, 再取解集即可，本节后续题目解析将不再阐释上述原理.变式1若关于的不等式2 -(血+ 3)% + 3m O的解集中恰有2个整数，则实数Tn的取值范围是答案：O, 1)U(5, 6解析：X2 (m + 3)% + 3m 0 = (% 3)(% - m) 0,两根中Tn与3的大小不确定，需讨论， 当Tn = 3时，(% 3)(% -m) 0即为( 3)2 3时，( 3)(% 血)0的解集为(3, m),如图1,

7、要使解集中有2个整数，应有5 m 6；当ZM 3时，( - 3)(% Tn) 0的解集为(n, 3),如图2,要使解集中有2个整数，应有0 m xI!II!x345rn 60 加123图1图2变式2若不等式a%2 + bX + C 0的解集是% I -1 % 。的解花为答案：%VI或%1解析：由一元二次不等式的解集可推知对应的二次函数的大致图象，以及一元二次方程的根，因 为CIX2 + bx + c 0的解集是 I -1 久 4,所以二次函数y = ax2 + bx + C的大致图象如图,(1 + 4 = (1)从而a 0可得30(%2 - 1) + (% + 3) - 4a 0,两端同除以0

8、整理得：3%2-x-20,所以(3/ + 2)(%解得：X 或% 1.总结一元二次函数、方程、不等式三者是紧密联系的，从一方的条件，可以推知另外两方的结论.类型皿：一元二次方程在某区间有实根例4方程a/+ 2% + 1 = O在（1, 2）上有根，则实数”的取值范围为答案：（一3,解析：只说有根，没规定有几个根，考虑参变分离，ax2 + 2% + 1 = O ax2 = -2x - 1 = 一安，求出一号在（1, 2）上的值域，即为。的范围，一号=25=-（工+11 + L由 1%2可得KL 所以IvHIV2,从而3G+1） 4, -3-Q+l） +K所以0的取值范围是（3,反思若一元二次方程

9、在某区间有根，但没说几个根，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域即 可.类型IV： 一元二次方程在某区间有k个实根例5一元二次方程a/ + 5% + 4 =。有一个正根和一个负根的充要条件是（）A.a OC.u 1答案：A解析：已经说了是一元二次方程， = O的情况就无需考虑了，只是规定根的正负，判别式+韦（ = 25- 16a O达即可，设原方程的两根分别为%, X2,由题意，YY _4,解得： O /(1) = 4m2 -m0，解得：O n 4J=4m2 2m + 2 O变式2方程“/ (a +2)久+ 4 = 0在(1, +8)上有两个不相等的实根，则实数的取值范围为答案：(0, 6 42

10、)解析：此处规定了给定区间上根的个数，故考虑画二次函数图象来看，但G的正负未定，得讨论开口，为了回避讨论，可在方程两端同除以G,将平方项系数化L但需先考虑Q = O的情形，当 = O时，显然不合题意；当 O时，ax2 (a + 2)% + 4 = O = / _ 等% + ( = 0(1),设f(%) =，詈% + 9要使方程(1)在(1, +8)上有两个不相等的实根，函数/(%)的大致图 象应如图，要让;(%)的就象为如图所示的情形，需从判别式、对称轴、端点值三方面考虑，所以J0(2)a2 a 1(3),将(2)化简得：2-12 + 40,所以(G 6尸32,J=1-溟+公。故06 + 4,由(4)可得(0,所以 0,从而(3)可化为 + 2 2,故2,于是00, b0,则恰F,当且仅当 = b时取等号.我们把这一不等式叩做基本(均值)不等 式，常用它来求一些代数式的最大、最小值，其运用