《双曲线的简单几何性质》.docx

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1、双曲线的简单几何性质一、教学目标本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲 线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考 点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、 体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考 书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性 质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学 目标。(1

2、)知识目标：使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、 离心率、渐近线等几何性质；掌握双曲线标准方程中a.，C的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。(2)能力目标:在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力， 想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与 方程的概念的理解。(3)德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变 化的观点分析理解事物。二、教学重点、难点对圆锥曲线来说，渐

3、近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接 受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露 思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的 渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作 为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水 平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。三、教学程序（一） .设计思路这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单 的几何性质、教学中可以与其类比讲解，让学生自己

4、进行探究，得到类似的结论。在教学 中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决 的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性， 同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解 决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发 现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性 思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学 生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻

5、性。（二） .教学流程L复习引入我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质， 请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备， 利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。2 .观察、类比这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单 的几何性质、教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状， 试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的 几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只 会看图，也要会从方程的角度来解释

6、，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线 的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之 后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区另J,这样可以加强新旧知识的联系, 借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。3 .双曲线的渐近线(1)发现由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线3/ = 1的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地 画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只 有那四个性质是不行的。从学生曾经

7、学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数1尸=一的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与X、y轴无限接近，止匕时X、y轴是1y = 一X的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线X3-/ = 1有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性,我们只须研究它的图形在第一象限的情况 即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程3=1,可解出=-l, P = J3l,当X无限增大时，y也随之增大，ys 卜_ LJr不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为X R x Y 广1 y,我们就会发现：当X无限增大，片逐渐减小、无限接近于0,而X就逐渐增大

8、、无限接7 = 无限接近,此时我们就称直线y = 叫做双曲线 -y = l的渐近线。这样从已有知识出发，层层设(释)疑，激活已知，启迪思维，调 动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念(或图形)特征，培养思维的深刻性。W.=l利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线 声一(aO, b0)的渐 = - y = (X )近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为b2 a2 ,由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为y = -Txa-, - = -Jl-一a, X V X ,可发现当X无限增大时，/逐渐减小、无限接y2近于O, X逐渐增大、无限接近于4,即说明对于

9、双曲线在第一象限远处的点与坐标原点bbJy 土一 X之间连线的斜率比4小，与斜率为。的直线无限接近，且此点永远在直线a下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线X2 y2 14. , = 1尸=-X尸=-Xa3 b2 (a0, b0)的图形在远处与直线a无限接近，直线 aWEl叫做双曲线a2 b2(a0, b0)的渐近线。将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思 维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思 想渗透于其中，学生也易接受。（2）几何画板演示I MQ I越来越短，因此把问题转化为计算IMQl。但因

10、IMQl不好直接求得，因 此又可以把问题转化为求IMN I。此又可以把问题转化为求IMN I。MQa, a：,8 1,这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同 样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。由等式c-=b,可得：。，不难发现：e越bb小（越接近于1） , 4就越接近于0,双曲线开口越小；e越大，4就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更 好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。5 .例题分析例L求双曲线9x216y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。变1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、 离心率。例2.已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e=54,中心在原点，焦点在X轴上，写 出双曲线的标准方程，并求出双曲线的渐近线和焦点坐标。6 .课堂小结(1)通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线 方程及其，渐近，性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；(2)双曲线的几何性质总结(学生填表归纳)。