2020~2023北京卷、上海卷最后一题.docx

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1、题目来源命题立意2020年八省联考第20题新定义与立体几何2023年四省联考第22题新定义与函数、导数、解析几何2024年九省联考第19题新定义与数论（同余，剩余系，费马小定理），二项式定理2023年北京卷第21题新定义与数列2022年北京卷第21题新定义与数列2021年北京卷第21题新定义与数列2023上海秋季第21题函数、导数与数列综合2023上海春季第21题函数、导数与新定义2021上海秋季第21题新定义与函数2021上海春季第21题新定义与数列2020上海春季第21题新定义与数列北京卷单选题填空题解答题2020年及以后 （不分文理）10题，共40分5题，共25分6题，共85分（13+1

2、4+13+15+15+15）前三题：三角，立几，概率 后三题：解几十导数+新定义2019年及以前（分文理）8题，共40分6题，共30分6题，共80分2021年八省联考第20题.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与 多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体 面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在Tl71每个顶点有3个面角，每个面角是一，所以正四面体在各顶点的曲率为2-3x 二 ,故其总 33(1)求四棱

3、锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2, 证明：这类多面体的总曲率是常数.2023年四省联考22.椭圆曲线加密算法运用于区块链.椭圆曲线c = (,y)ly2=Y+ar+4Q3+27z72wo. pc关于X轴的对称点记为/. C 在点尸(工y)(y 0)处的切线是指曲线) =yx3+ax+b在点P处的切线.定义“”运算满足： 若PC,QC,且直线P。与C有第三个交点R,则PQ = H;若PGCQC,且 P。为C的切线,切点为P,则尸Q =户；若P C,规定P户= 0*,且尸0* = 0*尸二尸.(1)当403+27/=0时，讨论函数z(x) = x3+qx + 7零点的个数；(

4、2)已知“”运算满足交换律、结合律，若PC,QC,且为C切线，切点为P,证明：尸尸=Q；(3)已知P(石,)CQ(x2,%)wC,且直线PQ与C有第三个交点，求P。的坐标.参考公式：m3- =+mn +叫2024年九省联考第19题19. (17 分)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X = l,2,p-l,若 u9veX , nN ,记y为UV除以P的余数，孙为切除以0的余数；设X, 1,4/巴,Qi,两两不同，若优,e =6(0,1,p-2),则称是以为底b的离散 对数，记为曾= IOg(P)/.(1)若p = ll, = 2,求kQ;(2)对町，m2 0,l,p-2,记mI啊

5、为叫+吗除以P-I的余数(当g +%能 被 P-I 整除时,n1 w2 =0 ).证明：1Og(P)(5 C) = Iog(PLb Iog(P)/，其中 b9cX ；(3)已知 = Iog(P Lb .对 xX, k l,2,p-2,令M=a, y2=x bk9 .证 明：x = y2yp-2.为涉仔1,2,何，为,也的前项和分别为4,纥，并规定4=为=0.对于左0,l,2, ,m,定义 =maxig s%,使得4+4=4+旦.【小问1详解】由题意可知：4)= A = 2, 12 = 3, A3 = 6, B0 = O, B1 = 1, B2 = 4, B3 = 7 ,当左二O时，则8=A=0

6、,4A,z = i,2,3,故“二0；当左=1 时，则 BoVA，4 VAI A, = 2,3,故 5=1；当左=2时，则 BjA2,i = O9I9B2 4,鸟 4,故2=1 ；当左=3时，则gA = (M,2,B3A,故4=2；综上所述：%=。，(=1，弓=1，4=2.【小问2详解】由题意可知：rrm ,且qN,因为巴L21,且q4,则455对任意 N*恒成立，所以 =O1,又因为 2 + *,则 G+i-GL即乙一乙/ _2 之之二一可得1。，1，反证：假设满足6+1 6 1的最小正整数为0 J根1, 当i 时，则*q2;当 z-1 时，则1。=1,则% 二(% %) + (%-%y)

7、+ + (-%) + %22(mj) + j = 2m/,又因为0 7 m-l,则 2加一 j2机一(旭一1)二机+1机，假设不成立，故6+1 6=1,即数列/是以首项为1,公差为1的等差数列，所以G=。+IXH = H,HN.【小问3详解】因为均为正整数，贝u4,4j均为递增数列，(1 )若 Atn=Btn,则可取方 = 9 = 0,满足 p%s%,使得 Ap+g=4+旦；(ii)若 Am Bm ,则 0,可得%+=理+练=(”+4)(理4)相， 这与+ L2,加相矛盾，故对任意1h人eN,均有Sl-若存在正整数N,使得Sn=4v-An=0,即4v=v,可取，=q = 0,夕=5 = 5，满

8、足2%s,使得Ap+g=4+8s;若不存在正整数N,使得SV=O ,因为SH 1,2,m1),且1机，所以必存在x%s使得Ap+g=4+8s;(iii)若 AnBn,定义& =InaXi4 纥,i0,L2,L ,m,则 & 加，构建S,=4-纥,1机，由题意可得：S0,且S”为整数，反证，假设存在正整数K,1Km，使得S-加，贝U ARK BK ,可得 aR+l = ARK+1 4尺K =(ARK+1 %)(a %) m这与+ gL2,明相矛盾，故对任意1机一 1N,均有S一若存在正整数N,使得Sjv =4,一张=。，即4n=3n,可取 q = t = O,s = N,p = Rn，即满足夕%

9、s，使得4+q=4+用；若不存在正整数N ,使得SV=O ,因为SH 1,2,(根1),且1机，所以必存在x%s,使得Ap+B=A+8s.综上所述：存在Oqvjpm,O%vs相使得=4+a.zzl,2,m,在。中存在4，4+，4+2，q+jU ），使得 ai + ai+l + 4+2 +, + ai+j = n，则称。为根-连续可表数列.（1）判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若为8连续可表数列，求证：上的最小值为4；（3）若，以为20 连续可表数列，且+ 20,求证：k7 .【小问1详解】% = 1, % = 2, % +g=3, % = 4

10、, 4 + 4 = 5 ,所以Q是5 连续可表数列；易知，不存 在J使得4+4+1+ + =6,所以。不是6-连续可表数列.【小问2详解】若左3,设为Q：J则至多CM +万+ Ga,。,。，6个数字,没有8个，矛盾;当上=4时,数列。：1,4,1,2 ,满足q=l, 4=2, 03 +g=3, % =4, a1 +a2 = 5 f al-a2+a3 = 6 ,+ 6 + 4 = 7 , al-a2+a3+a4 = 8 , .,. min = 4.【小问3详解】。：,4,以，若；/最多有女种，若i,最多有Ci种，所以最多有左+ Cj=处2种,2若左V5,则a:/，4至多可表,I） =15个数,矛

11、盾，2从而若上V 7,则左=6, abc,d,3/至多可表里? = 21个数，a + b + c + d + e + f m = l,.,gd,e, = -l,2,3,4,5,6,再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，1 = -1 + 2 （仅一种方式），.1与2相邻，若-1不在两端,则Z, -1,2, _, _, _”形式，若x = 6,贝U5 = 6 + （-1）（有2种结果相同，方式矛盾），.x6,同理x5,4,3 ,故1在一端,不妨为0,2, A旦CS”形式，若A = 3,则5 = 2+3 （有2种结果相同，矛盾），A = 4同理不行，A = 5,则6 = T + 2 + 5

12、 （有2种结果相同，矛盾），从而A = 6,由于7 = -1 + 2 + 6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能126,3,5,4,或-1,2,6,4,5,3,这2种情形，对：9 = 6 + 3 = 5 + 4,矛盾，对：8 = 2 + 6 = 5 + 3,也矛盾，综上左。6.krl .2021年北京卷第21题.设为实数.若无穷数列an满足如下三个性质,则称an为况P数列：q+p0,且出+ = 0; 1 %,5 = ,2,)； ,m+n +n + A+ + + l, (m, = l,2).(1)如果数列2的前4项为2, -2, -2, -1,那么%是否可能为况2数列？说明理由;(2)若数列%是况O数列，求5； (3)设数列%的前项和为S ”.是否存在次数列%,使得3So恒成立？如果存在，求 出所有的P；如果不存在，说明理由.【详解】(1)因为 =2,% =2,出=一2,所以4+% + P = 2,/+g + 2 + 1 = 3 , 因为生=一2,所以 / X q+%+2,q+出+2 + 1所以