抽象函数常见题型解法.docx

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1、抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽 象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数 重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化 归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特 征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解 决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)基

2、函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或 f(2)= 3 y f(y)指数函数f(x)=ax (a0且a#l)f(x+y)=f(x)f(y)或f J _ y)= I f(y)对数函数 f(x)=logax (a0 且 a#)f(xy)=f(x)+f(y)或.二)= f(x)_f(y)1 y正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x + y) = ,f() + f(y) 1 -f(x)f(y)余切函数f(x)=colxf(x-,y)l-ff f() + f(y)目录：二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、

3、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 多为简单函数与复合函数的定义域互求。例L假设函数y = f lx)的定义域是-2, 2,那么函数y = f (x+D+f (xl)的定义域为一1X1 解：f(x)的定义域是意思是凡被f作用的对象都在-2,2中。评析：f(x)的定义域是A,求/(dx)的定义域问题，相当于解内函数9(x)的不等式问题。练习：函数f(x)的定义域是,求函数/,og(3.)的定义域。U例2：函数/(log?%)的定义域为3, 11,求函数f(x)的定义域 o 1,Iog3Il评析：函数/(8CV)的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数(x)的

4、值域。练习：定义在(3,8上的函数f(x)的值域为-2,2,假设它的反函数为fT(x),那么y=fT(2-3x)的定义 域为,值域为。(l ,(3,8二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样 赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验；例 3.对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(l)WO,那么 f(2001)=.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：= r,y = ,f(n 1) = f(n) + 2(1)2,令 x=0,y=l,得 f(0+12)=f(0)+2f( 1 )2,令 x=y=0

5、,得：f(0)=0,.f(l)=L 即 f(n + l)-Rn)= 故 f(n) = .f(2001) = a”. 2222R上的奇函数y=f(x)有反函数y=P(x),由y=f(x+l)与y=fq(x+2)互为反函数，那么f(2009)=.解析：由于求的是f(2009),可由y=P(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+l)= f(x)2 又f(0)=0,通过递 推可得 f(2009)=-4918.例4.f(x)是定义在R上的函数，f(l)=l,且对任意xR都有f(x+5)2f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.假设g(x)=f(x)+l-x,那么 g(2002)=.1解由 g

6、(x)=f(x)+l-x,得 f(x)=g(x)+x-l.而 f(x5)f(x)+5,所以 g(x+5)+(x+5)-l g(x)+x-l+5 ,又 f(x+1) f(x)+1,所以 g(x+ l)+(x+1)-1 g(x)+x-l+1即 g(x+5)g(x), g(x+l)g(x).所以 g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)g(x+3)g(x+2)Wg(x+l).故 g(x)=g(x+1)又 g( 1 )= 1,故 g(2002)= 1.练习：1. f(x)的定义域为(0,m),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2 ,那么/(戈)二)2.如果f(X + y) =

7、 f(x)f(y),且f=2,则普+譬+粤+警町的值是。2000f(l) f(3) f(5)f(2001)/5) = 2,原式:16)2(1) + (2) i /2(2) + /(4)/2(3) + /(6) ,/2(4) + /(8)/(D/(3)/(5)/(7) 3、对任意整数x,y函数y = f(x)满足:/(+y) = (x) + (y) + + l,假设/(1) = 1,那么/(-8)= CA.-lB.lC. 19D. 434、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有+6) = (x)+(3)成立，假设/(1)=2,那么/(2005)=()(B)A.2005B.2C.lD.05、定义在

8、R上的函数Y=f(x)有反函数Y=P(Xr又Y=f(x)过点(2, 1), Y=f(2x)的反函数为Y=(2x), 那么 Y=F(16)为()(A)A) -B) C) 8 D)8166、已知为实数，且O0.四、解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5. f( I +sinx)=2+sinx+cos2x,求 f(x)解:令 u=l+sinx,那么 SinX=U-I (OWUW2),那么 f (u)=-u，3u+l (OWUW2)故 f (x)=-43x+l (OWUW2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.例6、设对满足xz0, x

9、Wl的所有实数X,函数f (x)满足，/(6+(l) = + ,求f(x)的解析式。解:.f(x) + f(=i) = l + x(x(iaxwl),(l)一用忙1代换看导：/(11)+_!_)=吐1/2) XXX I-x X再以一代换(1)中的X 得：f(-J-) + O)=2W.(3)由+ 得:f()= X-I (XHo 且 XHI)1-x1 - XI X22x -2x小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。例 7.f(x)是多项式函数，且 f(x+l)+f

10、(x-l)=224x,求 f(x).解:易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0), 代入比拟系数得:a=l,b= -2,c= -l,f(x)=x2-2x-l.小结：如果抽象函数的类型是确定的，那么可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题,例8.是否存在这样的函数f(x),使以下三个条件：f(n)O, nN;f(ni+n2)=f(m)f(n2)m,n2N*;f(2)=4同时成立?假设存在,求出函数f(x)的解析式；假设不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(l + l)=4,解得f(l)=2.又f(2)=4=2(3)=23,由此猜测:

11、f(x)=2x (XWN*)(数学归纳证明略)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推 性，也常用递推法来求解.例9、/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x-) = (x + g)恒成立，当x2, 3时，/(x) = x,那么当xw(-2, 0)时，函数f(x)的解析式为(D )A. |x 2jB. x+4C. 2x 1 D. 3 x 1|解：易知 =2,当xw(-2, 1)时,x + 4w(2,3), .(x + 4) = x + 4 = (x);当 X (-1, 0)时 2 - X (2,3), /(2-x) = 2-x = f(-x) =

12、 f(x).应选 D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到区间，利用区间的表达式求未知区间的表达式， 是求解析式中常用的方法。练习：1、设y = f(x)是实数函数:即x,f(x)为实数),且f(x)-2f(3 = x,求证:If(X)I2IX3解:用L代换X,得f(L)-2f(x) = L,与己知!得 2 +3Xf(X)+ 2 = 0，由之。得 9f2(x)-420,.Jf(x)2.XXX32.12006重庆)定义域为R的函数f(x)满足用()-x2+x)RW-2+x.(I )假设(2)=3,求川)；又假设7(0)=,求取);(II)设有且仅有一个实数为，使得兀Co)=即，求函数兀

13、0的解析表达式。角军：(/)因为对任意 XW R，宜f(fg-2 +) = /O) -2 +所以x(2) - 22 + 2) = /(2) -22 2又 ll(2) = 3,彳郎(3 -22 2) = 3-22 2, By(l) = 1i(O) = ,贝V( - O2 O) = a - O2 O,艮2) = a()因为对任意X R，(x)-x2+x) = /M-X2 + X.又因为有且只有一个实数知 使版(XO) = Xo所以对任意X /?,有Y(X) XZ + X = X0在上式中令X = Xq, Z(X0) -Xo+ xO = xO再代/(XO) = X0,得Xtl 一片=0,故X(J=O或 = l若 O=0,贝 Q/Xx) 2 +