恒成立问题题型大全(详解详析).docx

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1、不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立 的恒成立问题。恒成立问题的根本类型：类型 1：设/(x) = r2+ + c(0), 11) /(冗)0祗R上恒成立Oa0且Av。；(2)f(x) O在X R上恒成立O O且A 0时，/(幻0祗。,尸上恒成立0bVafIa 或，/(a)0或f(0)O/() O在/ a1 上恒成立 OJ / 3) Wxo(2)当a0取。,切上恒成立=,/9) l(0 Ob _b_ b/(%)0祗3尸上恒成立。，2/(a)0 0W) 对一切X ，恒成立 /(x)min a /(x) 对一切X /恒成立 /(x)

2、max a。类型4：f(x) g(x)对一切Lr /恒成立=/(x)的图象他(X)的图象的上方或r(x)min g(x)max L 怛(x)成立问题的解题的根本思路是：根据条件将恒成立问题向根本类型转化，正确选用函数法、最小值法、 数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数f(x) = Ax+8,x 九川有： /w 恒成立o )：加(2一D对满足一2机2的所有机都成立，求X的范围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2-l)-(2x-l) 0,； 令/(m) = m(%21)一(2元一 1)，那么一2n2时，/(机)v恒成立，所以只需-2(x2

3、 -1) - (2x -1) 0羽曰 -1 + V7 1 + 6、，所以X的氾围是XW (,) O2(x2-1)-(2x-1) 0伍 w 0, e R)有： (1) /*)0在工/?上恒成立。40且人0: (2) /*)0在/区上恒成立040且A0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨 论m-1是否是Oo(1)当m-l=O时，元不等式化为20恒成立，满足题意；m- O(2)“一 1。0时，只需4,所以，m 1,9) O = (w-1)2-8(w-1)0三、利用函数的最值(或值域)(1)/(x)m对任意 X都成立=*)mi

4、nm;(2) f(x)机对任意X都成立O机A冗)ma。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 AABC 中，/(5) = 4sin8sin2(? +与+ cos28,且 |/(8)阳 2 恒成立，求实数 m 的 范围。解析：由f(B) = 4sin Bsin2 ( + cos2B = 2sin B +1, v 0 B sin B (0,l , /(B) (1,3,|/(8)-|2恒成立，.一27(8)-7/()-2恒成立，厂.小(1,3msinx-CoSX,x0,%恒成立的实数a的范围。解析：由于函sinx-CoSX = Jsi

5、n(x-2),x-w-K,3C,显然函数有最大值Ji, 4/44 4. a yfl O如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：JTTT(2)求使不等式 sinX-cos%,% (0,)恒成立的实数a的范围。42解析：我们首先要认真比照上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y = sinX-COSx的最大值取不到也，即a取血也满足条件，所以5所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫别离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：。

6、0,。;,/。)=尤2一,当工(_1,1)时,有了(乃%恒成立，求实数a的取值范围。解析：由/(x) = 2-%,得/一%/,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在X=-I和x=l处相交，那么由F-L =。及(T)2-1 = qT得到a分别等于2和0.5,并作 22出函数y = 2及y = (g)的图象，所以，要想使函数-g =2”在区间工(1,1)对应的图象在丁 二 /一：在区间Xe(一口)对应图象的上面即可。当时,只有2才能保证，而00, 0 + l + c .c2-r 应选 D。74落之其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以

7、上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就 是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数X,不等式sinx + bcosx + c 0(,6,c R)恒成立的充要条件是。cya2 +b17 + V Q752、设y = lglg 7在(-8，1上有意义，求实数a的取值范围.,+8)。3、当xg,3)fl寸，Logx 0，那么根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于a 0或 ii) ftri) 0亦可合并成4f(fn) 0 f(n)0如图1所示./5) 0同理，假设在孙川内恒有/(x) O(a0，如图2所示.(注：/(x)0恒

8、成立o4)O,对于任意实数X都有F(X) (),那么工卫的最小值为() ,(0)A. 3b IC. 2d IK解析X由题意知A = -4c0=Z72疝.所以& =史外 = +竺1 +也=2 (当且仅当。=C时取“=”号).*(0) b b2 疝 一【例3】(2007年重庆卷理13)假设函数/(X) = JF五二二T的定义域为R,那么的取值范围为K解析H函数的定义域为R,即2Jai一o在H恒成立，也即f-20v-4o恒成立,所以有 A = (-2a)2 -4(-a) 0.解得一1 0.【例4】(2007年陕西卷理20)设函数)=U,其中。为实数.X2 + ax+a(I)假设/(x)的定义域为R,

9、求。的取值范围；(H)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.K解析X (I)(解法同例3) 0“0恒成立o(1 0 (注：假设了。)的最小值不存在，那么/(x)0 恒成立Of(X)的下界大于0)； /。)0恒成立。/(030 (注：假设/(X)的最大值不存在， 那么f*)；,判断函数/(x)在定义域上的单调性；(II)求函数f(x)的极值点；(III)证明对任意的正整数，不等式Ind + l)-4)都成立. n n- nK解析H (I)、(H)略(III)当b = T时，/(x) = x2-ln(x + l). h(x) = -/(x) = -2 ln(x+1),那么令(X) = 3 + (xT)2 在,x)上恒正,； h(x)在 x+l0, +)上单调递增，当 X (0, +)时，恒有 h(x) () = 0.即当 x