必修二立体几何常考证明题汇总.docx

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1、必修二立体几何常考证明题一.证明线线平行，线面平行，面面平行1.利用三角形中位线2.利用平行四边形考点L证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角例1：四边形ABCO是空间四边形，E,EG,H分别是边A8,8C,CO,0A的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）假设BD=2L AC=2, EG=2o求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：(1在ABO中，瓦”分别是A3,AO的中点2同理，FGH BD, FG = L BD ：. EH / FG, EH = FG /.四边形 EFGH 是平行四边形。 2 90030 考点2:线面平行的判定例 2： ABC 中 NAC3 =

2、90 ,SA上面 ABC,AD_LSC,求证：AD_L 面 SBC.S证明：V ZACB = 90 BC-LAC又81_1面48。.SA-LBC:.BC1W SAC.BC-LADL X又 SC _L AD, SC r BC = C . ad 面 SBC考点3：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定例 3：正方体ABCD-ABCZr中，求证： AC_L平面 8。平面ACZr考点4：线面平行的判定（利用平行四边形）例 4：四面体ABCz）中，4C = BD,瓦尸分别为AD,BC的中点，.且EF =立AC, 2NBDC = 90 ,求证：或_L平面ACo证明: 取Co的中点G,连结EGFG

3、, 丁豆尸分别为AD,3C的中点，：.EG U-AC 2FGU-BD ,又/C=BD,G = LAC,，在 EFG 中，EG2FG2 =-AC2 = EF2 222 EGA.FG, ：. BD ACr 又 NBDC = 90 ,即 3DJ_CD, ACCa） = C/. 3。_L 平面 ACD考点5：线面平行的判定（利用三角形中位线）例5：如图，在正方体ABC。-A4CA中，E是AA的中点.（1）求证：AC平面BOE ；（2）求证：平面AAC_L平面切定.证明：（1）设ACCB0 = 0,Y E、0分别是A4、AC的中点，. AC 石。又 ACZ 平面 3DE, EoU 平面 BDE, ,A1

4、C 平面 8。E（2） . AA1 _L 平面 ABC。，BDU平面 ABCD, AAtIBD又3_LAC, CcA1 =A, . BoJ_平面AAC, BOU平面8E,平面或E_L平面AAC二.证明线线垂直，线面垂直，面面垂直考点L线面平行的判定(利用三角形中位线)，面面垂直的判定例1：如图，空间四边形A5CZ)中，BC = AC,AD = BDf E是AB的中点。求证：(1) AB_L平面CDE;(2)平面CDEj_平面ABCo证明：(1)BC =AE =ACCELAB BE同理,AD=BDAE = BEDElAB又. CECDE=E：.A3 _L平面 CZ)E(2)由有AB_L平面CDE

5、又.AB 平面ABCt.平面cde j_平面abc例 2： ABCr)是矩形，PA_1_平面ABeO, AB = 2, PA = AD = 4, E为3。的中点.(1)求证：E_L平面A4E； (2)求直线DP与平面Q4E所成的角.证明： 在AD石中，AD2 =AE2 DE2f :. AEA.DE； PA_L平面 ABC。，OEU平面 ABC。，. PALDE又BACAE = A, .oe,平面PAE(2) NOPE为。P与平面E所成的角在 Rf AD, Po = 4,在用 DCE 中，DE = 2版在 RDEP 中，PD = 2DE, :. ZDPE = 3(f考点2:线面垂直的判定,三角形

6、中位线，构造直角三角形例 3：如图尸是A3C所在平面外一点，PA = PB,C8_L平面QAB, M.是PC的中点，N是AB上的点，AN = 3NB(1)求证：MN 工 AB； (2)当 NAPB = 90 , AB = 2BC = 4,时，求MN 的长。证明：(1)取PA的中点。，连结MQ,NQ,；M是依的中点，：.MQH BC, *. C8_L 平面 8 ， ：. A/Q_L 平面 RIeQN是MN在平面RW内的射影，取 A3的中点。，连结 PD, PA = PB,；PD工AB , 又 AN = 3NB, ：. BN = ND.,.QNPDf ：. QNlABf 由三垂线定理得 MVJ.

7、AB(2) V ZAPB = 90 , PA = PB, ：. PD = AB = 2f ：. QN = , 丁 MQ _L 平面 EAB .工MQLNQ,且M2 = gBC = l, ：. MN = 6考点3:线面垂直，面面垂直的判定 例4：如图，在正方体A8C。-AEGR中，E是AA的中点,求证：AC平面BDE。证明: 连接AC交3。于。，连接EO,七为AA的中点，。为AC的中点JEO为三角形AAC的中位线A EOHC又Eo在平面8。石内，AC在平面BZm外例5：正方体ABCo-ABc。，。是底ABCO对角线的交点.求证：(I)CIo面的R；ACJ.面明a.证明：连结AG，设AGCBa=,

8、连结Aol ABCD-AiBlCiDi是正方体 /. ,ACC1是平行四边形.4C“AC 且 AG=AC又Q,。分别是AG,AC的中点，0iGA。且QG =4。.A。Ga是平行四边形.GAQ,4 u 面 A8Q , GOa 面 AgQ JGO面 4与R(2) CGL面 4片CQ/. CC1 1 lD,又AC L 与n,.gAL 面 AGC即 AC_Lqq同理可证 AC1 ad,又 DlBlC AD = D1 ACl.面 AsR考点4：线面垂直的判定 例 6：正方体ABCz)4BClz)I中.求证：平面AiBO平面8O1C；假设E、尸分别是A, Ca的中点，求证：平面EBQI平面FBD证明：(1

9、)由B得四边形88|。Q是平行四边形，8Q18D,又8。0平面BQC, 8Q u平面BQIG8。平面BDC.同理AIo平面BOiC.而AlOG 8。=。，.平面48。平面BCD(2)由 8DI,得 BD平面 EBiDi.取 中点 G, AE/BiG.从而得 BE4G,同理 G/AO. .,.AGDF. ：.BE/DF.二。/平面 EBO1.平面E5。1平面尸30.考点5：三垂线定理例7：如图，在正方体ABCO A4GR中，E、F、G分别是48、AD. CQ的中点.求证：平面DE尸平面8DG.证明： 、/分别是A3、AD的中点，/. EF / BD又Ma平面BDG, 班u平面8OG.石/平面BD

10、GY D1G幺EB .四边形DTGBE为平行四边形，D1E / GB又QEa平面3)G, GBU平面3fG. Qg 平面Br)GScE = E,.平面QEz7平面3。G考点6:线面垂直的判定,构造直角三角形B例8：如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是NDAB = 60且 边长为。的菱形，侧面抬。是等边三角形，且平面PAO垂直于底面 ABCD.(1)假设G为4。的中点，求证：8G_L平面P4O；(2)求证：ADLPB；(3)求二面角A-BC-P的大小.证明：(1) AB。为等边三角形且G为AD的中点，. BG1AT) 又平面PAOJ_平面ABCQ, . 3G_L平面 抬)(2) R4。是

11、等边三角形且G为Af)的中点，. AOJ. PG 且AO_L3G, PGC3G = G, . a。，平面PBG, PBu平面PBG, ADVPB(3)由 ATJ_P3, AD/ BC, a BC.LPB又 3G_LAO, AD/ BCf . BG工 BC. NPBG为二面角A-BC-P的平面角在 RfAPBG 中,PG = BG, . NPBG = 45考点7:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二 面角的求法（定义法）例9：如图1,在正方体ABCo-ABCQ中，M为Ca的中点，AC交BD于点、0,求证: A。，平面MBD证明： 连结 M。，AiM , 9DBAiA1 DBLA

12、C. AACAC=AO3_L平面 AJCC ,而 AoU 平面 AACG ：.DBL A1O.设正方体棱长为。，那么A。？ =3/, MO2=匕2.24O在 Rt A1C1Af 中，AyM2 =-a2 . , A1O2 + MO2 = AiM2 ,A。1OM .0MQ8=0, A0_L平面 MBD考点8:线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直例10：如图2,在三棱锥Z切中，BC=AC, AD= 忤BECD, E为垂足，作AfLLBE于H.求证：加比平面 证明: 取49的中点尸，连结6 DF.V AC = BC, ：. CFlAB.： AD = BD, DF LAB.又CF OF =尸，.A3

13、L平面如:CDu平面勿R ：. CDLAB.又 CDLBE, BEcAB = B,CQJ_平面力质CDVAH.*： AH LCD, AH-LBEf CDcBE=E, ：.A_L平面比a考点9：线面垂直的判定,三垂线定理 例11：证明：在正方体ABCD-AIBIGDl中，AIC_L平面BGD 证明： 连结ACVBDAC AC为AlC在平面AC上的射影. BDlAiC同理可证ACJJ?G)= ACL平面BGO考点10:面面垂直的判定（证二面角是直二面角） 例12：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且NASB=NASC=60 , ZBSC=90o ,求证：平面 ABC_L平面 BSC.证明JVSB=SA=SC, ZASB=ZASC=60oXAB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,那么 Ao_LBC, SOBC,NAOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a,又NBSC=90。， 2.*.BC= a, SO= 2 a, j_ AO2=AC2OC2=a2- 2 a2= 2 a2,.SA2=AO2+OS2, ZAOS=90o从而平面ABC_L平面BSC.