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1、必修二立体几何常考证明题一.证明线线平行,线面平行,面面平行1.利用三角形中位线2.利用平行四边形考点L证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角例1:四边形ABCO是空间四边形,E,EG,H分别是边A8,8C,CO,0A的中点(1)求证:EFGH是平行四边形(2)假设BD=2L AC=2, EG=2o求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明:(1在ABO中,瓦”分别是A3,AO的中点2同理,FGH BD, FG = L BD :. EH / FG, EH = FG /.四边形 EFGH 是平行四边形。 2 90030 考点2:线面平行的判定例 2: ABC 中 NAC3 =
2、90 ,SA上面 ABC,AD_LSC,求证:AD_L 面 SBC.S证明:V ZACB = 90 BC-LAC又81_1面48。.SA-LBC:.BC1W SAC.BC-LADL X又 SC _L AD, SC r BC = C . ad 面 SBC考点3:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定例 3:正方体ABCD-ABCZr中,求证: AC_L平面 8。平面ACZr考点4:线面平行的判定(利用平行四边形)例 4:四面体ABCz)中,4C = BD,瓦尸分别为AD,BC的中点,.且EF =立AC, 2NBDC = 90 ,求证:或_L平面ACo证明: 取Co的中点G,连结EGFG
3、, 丁豆尸分别为AD,3C的中点,:.EG U-AC 2FGU-BD ,又/C=BD,G = LAC,,在 EFG 中,EG2FG2 =-AC2 = EF2 222 EGA.FG, :. BD ACr 又 NBDC = 90 ,即 3DJ_CD, ACCa) = C/. 3。_L 平面 ACD考点5:线面平行的判定(利用三角形中位线)例5:如图,在正方体ABC。-A4CA中,E是AA的中点.(1)求证:AC平面BOE ;(2)求证:平面AAC_L平面切定.证明:(1)设ACCB0 = 0,Y E、0分别是A4、AC的中点,. AC 石。又 ACZ 平面 3DE, EoU 平面 BDE, ,A1
4、C 平面 8。E(2) . AA1 _L 平面 ABC。,BDU平面 ABCD, AAtIBD又3_LAC, CcA1 =A, . BoJ_平面AAC, BOU平面8E,平面或E_L平面AAC二.证明线线垂直,线面垂直,面面垂直考点L线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定例1:如图,空间四边形A5CZ)中,BC = AC,AD = BDf E是AB的中点。求证:(1) AB_L平面CDE;(2)平面CDEj_平面ABCo证明:(1)BC =AE =ACCELAB BE同理,AD=BDAE = BEDElAB又. CECDE=E:.A3 _L平面 CZ)E(2)由有AB_L平面CDE
5、又.AB 平面ABCt.平面cde j_平面abc例 2: ABCr)是矩形,PA_1_平面ABeO, AB = 2, PA = AD = 4, E为3。的中点.(1)求证:E_L平面A4E; (2)求直线DP与平面Q4E所成的角.证明: 在AD石中,AD2 =AE2 DE2f :. AEA.DE; PA_L平面 ABC。,OEU平面 ABC。,. PALDE又BACAE = A, .oe,平面PAE(2) NOPE为。P与平面E所成的角在 Rf AD, Po = 4,在用 DCE 中,DE = 2版在 RDEP 中,PD = 2DE, :. ZDPE = 3(f考点2:线面垂直的判定,三角形
6、中位线,构造直角三角形例 3:如图尸是A3C所在平面外一点,PA = PB,C8_L平面QAB, M.是PC的中点,N是AB上的点,AN = 3NB(1)求证:MN 工 AB; (2)当 NAPB = 90 , AB = 2BC = 4,时,求MN 的长。证明:(1)取PA的中点。,连结MQ,NQ,;M是依的中点,:.MQH BC, *. C8_L 平面 8 , :. A/Q_L 平面 RIeQN是MN在平面RW内的射影,取 A3的中点。,连结 PD, PA = PB,;PD工AB , 又 AN = 3NB, :. BN = ND.,.QNPDf :. QNlABf 由三垂线定理得 MVJ.
7、AB(2) V ZAPB = 90 , PA = PB, :. PD = AB = 2f :. QN = , 丁 MQ _L 平面 EAB .工MQLNQ,且M2 = gBC = l, :. MN = 6考点3:线面垂直,面面垂直的判定 例4:如图,在正方体A8C。-AEGR中,E是AA的中点,求证:AC平面BDE。证明: 连接AC交3。于。,连接EO,七为AA的中点,。为AC的中点JEO为三角形AAC的中位线A EOHC又Eo在平面8。石内,AC在平面BZm外例5:正方体ABCo-ABc。,。是底ABCO对角线的交点.求证:(I)CIo面的R;ACJ.面明a.证明:连结AG,设AGCBa=,
8、连结Aol ABCD-AiBlCiDi是正方体 /. ,ACC1是平行四边形.4C“AC 且 AG=AC又Q,。分别是AG,AC的中点,0iGA。且QG =4。.A。Ga是平行四边形.GAQ,4 u 面 A8Q , GOa 面 AgQ JGO面 4与R(2) CGL面 4片CQ/. CC1 1 lD,又AC L 与n,.gAL 面 AGC即 AC_Lqq同理可证 AC1 ad,又 DlBlC AD = D1 ACl.面 AsR考点4:线面垂直的判定 例 6:正方体ABCz)4BClz)I中.求证:平面AiBO平面8O1C;假设E、尸分别是A, Ca的中点,求证:平面EBQI平面FBD证明:(1
9、)由B得四边形88|。Q是平行四边形,8Q18D,又8。0平面BQC, 8Q u平面BQIG8。平面BDC.同理AIo平面BOiC.而AlOG 8。=。,.平面48。平面BCD(2)由 8DI,得 BD平面 EBiDi.取 中点 G, AE/BiG.从而得 BE4G,同理 G/AO. .,.AGDF. :.BE/DF.二。/平面 EBO1.平面E5。1平面尸30.考点5:三垂线定理例7:如图,在正方体ABCO A4GR中,E、F、G分别是48、AD. CQ的中点.求证:平面DE尸平面8DG.证明: 、/分别是A3、AD的中点,/. EF / BD又Ma平面BDG, 班u平面8OG.石/平面BD
10、GY D1G幺EB .四边形DTGBE为平行四边形,D1E / GB又QEa平面3)G, GBU平面3fG. Qg 平面Br)GScE = E,.平面QEz7平面3。G考点6:线面垂直的判定,构造直角三角形B例8:如图,在四棱锥P-ABC。中,底面ABCO是NDAB = 60且 边长为。的菱形,侧面抬。是等边三角形,且平面PAO垂直于底面 ABCD.(1)假设G为4。的中点,求证:8G_L平面P4O;(2)求证:ADLPB;(3)求二面角A-BC-P的大小.证明:(1) AB。为等边三角形且G为AD的中点,. BG1AT) 又平面PAOJ_平面ABCQ, . 3G_L平面 抬)(2) R4。是
11、等边三角形且G为Af)的中点,. AOJ. PG 且AO_L3G, PGC3G = G, . a。,平面PBG, PBu平面PBG, ADVPB(3)由 ATJ_P3, AD/ BC, a BC.LPB又 3G_LAO, AD/ BCf . BG工 BC. NPBG为二面角A-BC-P的平面角在 RfAPBG 中,PG = BG, . NPBG = 45考点7:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二 面角的求法(定义法)例9:如图1,在正方体ABCo-ABCQ中,M为Ca的中点,AC交BD于点、0,求证: A。,平面MBD证明: 连结 M。,AiM , 9DBAiA1 DBLA
12、C. AACAC=AO3_L平面 AJCC ,而 AoU 平面 AACG :.DBL A1O.设正方体棱长为。,那么A。? =3/, MO2=匕2.24O在 Rt A1C1Af 中,AyM2 =-a2 . , A1O2 + MO2 = AiM2 ,A。1OM .0MQ8=0, A0_L平面 MBD考点8:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直例10:如图2,在三棱锥Z切中,BC=AC, AD= 忤BECD, E为垂足,作AfLLBE于H.求证:加比平面 证明: 取49的中点尸,连结6 DF.V AC = BC, :. CFlAB.: AD = BD, DF LAB.又CF OF =尸,.A3
13、L平面如:CDu平面勿R :. CDLAB.又 CDLBE, BEcAB = B,CQJ_平面力质CDVAH.*: AH LCD, AH-LBEf CDcBE=E, :.A_L平面比a考点9:线面垂直的判定,三垂线定理 例11:证明:在正方体ABCD-AIBIGDl中,AIC_L平面BGD 证明: 连结ACVBDAC AC为AlC在平面AC上的射影. BDlAiC同理可证ACJJ?G)= ACL平面BGO考点10:面面垂直的判定(证二面角是直二面角) 例12:如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且NASB=NASC=60 , ZBSC=90o ,求证:平面 ABC_L平面 BSC.证明JVSB=SA=SC, ZASB=ZASC=60oXAB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,那么 Ao_LBC, SOBC,NAOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又NBSC=90。, 2.*.BC= a, SO= 2 a, j_ AO2=AC2OC2=a2- 2 a2= 2 a2,.SA2=AO2+OS2, ZAOS=90o从而平面ABC_L平面BSC.