专题45空间向量及其应用（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题45空间向量及其应用知考纲要求识考点预测梳常用结论理方法技巧题题型一：空间向量的线性运算型题型二：共线、共面向量定理的应用归题型三：空间向量数量积的运算类题型四：利用向量证明平行与垂直训练一：培训练二：优训练三：训训练四：练训练五：训练六：强单选题：共8题化多选题：共4题测填空题：共4题试解答题：共6题、【知识梳理】【考纲要求】1 .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐 标表不.2 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4 .理解直线的方向向量及平面的法向量.5 .能用

2、向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系6能用向量方法证明立体几何中有关 线面位置关系的一些简单定理.【考点预测】1.空间向量的有关概念名称XX空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理共线向量定理：对任意两个空间向量，力s0), 力的充要条件是存在实数人 使得片 Xb.(2)共面向量定理：如果两个向量，力不共线，那么向量P与向量，力共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对(X, y),使P=理土业.空间向量基本定

3、理：如果三个向量e b, C不共面，那么对任意一个空间向量P，存在唯一 的有序实数组%, 2*使得P=理土他土区，其中，b, c叫做空间的一个基底.3 .空间向量的数量积两向量的夹角：已知两个非零向量入b,在空间任取一点O,作为=，OB=b,则NAoBIr叫做向量与力的夹角，记作a,力，其范围是10, ,若a, b)=,则称a与b互相垂 直,记作ab.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量b,则IAlCOSa, b叫做b的数量积，记作仍， 即 力= IallAlCOS ，力.空间向量数量积的运算律结合律：(c)b = a*b)；交换律：ab=ba;分配律：a(b+c)=ab+ac.4 .空间向

4、量的坐标表示及其应用设 = (, 2, 3), b = (b, bi, fo).向量表示坐标表示数量积ab+ab?+a3b3共线a=b(bQ, AR)CTL=入 b, 2=丸62, 3=丸63垂直协= 0(0, 0)+aitn+3 卜 3 = O模夹角(a, b) (0, 0)仍1 + 2岳 + 3：3C0S a。q*+g+%qw+M+b35.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线/平行或重合,则称此向 量为直线/的方向向量.平面的法向量：直线Lq,取直线/的方向向量则向量叫做平面。的法向量.6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线/1, /

5、2的方向向量分别为 1, U2hhUl / U2Ul=U2lfcUl -L 2012 = 0直线/的方向向量为小平面。的法 向量为nlaILau/ nu=n平面a, S的法向量分别为 1, 2am/ n2m=n2aLm 20町2=0【常用结论】1 .在平面中，A, B,。三点共线的充要条件是：OA=xOB+yOC x+y=l),。为平面内 任意一点.2 .在空间中，P, A9 B9。四点共面的充要条件是：9=%a+yh+?无(其中x+y+2=l), O为空间中任意一点.【方法技巧】1 .用基向量表示指定向量的方法结合已知向量和所求向量观察图形.将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(

6、3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.2 .证明空间四点P, M9 A9 B共面的方法(l)MP=xMA+yMB;(2)对空间任一点 O, =0M+xMA+yMB;（3）对空间任一点 O9 P=xOM+yOA+zB（x+y+z= 1）;（4）由蕊（或成曲或港薪）.3 .由向量数量积的定义知，要求与力的数量积，需已知，|加和，b, 与力的夹角与方 向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使力计算准确.4 .利用向量法证明平行问题线线平行：方向向量平行.线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.面面平行：两平面的法向量平行.5 .利用向量法证明垂直问题的类型

7、及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的 判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化 为证明线面垂直二、【题型归类】【题型一】空间向量的线性运算【典例1在空间四边形ABCQ中，若蕊=（3，5，2），诙=（7，一1，一4），点石，尸分 别为线段BC，的中点，则库的坐标为（）A. （2 , 3 , 3）B. （-2 ， -3 ， -3）C. （5 ， 2 ， 1）D. （-5 ， 2 ， 1）【解析】因为点石，尸分别为线段BOAQ的中点，设。为坐标原点，所

8、以肆=砺一场，赤 =QA+b） , （9E=（9B+（9C）.所以丽=,协+历）一；（协+南=,廊+诙）=:（3 , - 5 5 2） + （ 7，1，4）=g（4，6，-6） = （-2 5 3，3）.故选B.【典例2】正方体-ALBIc1中，点石为上底面AICI的中心.若向量屐=A5+x成+ yAD，则实数x，y的值分别为()A. x=l，y=lB. x=l，y=gC. X=T , y=gD. x=；，y=l【解析】如图,=AA1+A1E=AA1+AC1=AA1+Ab) 故 x=y= .G看故选C-jc/B【典例3】在三棱锥O-A8C中，N分别是OA，BC的中点，G是4A5C 的重心，用基

9、向量为，OB，况表示(1)病；(2)(9G.【解析】(1)病=近1+适=(9A+Ar=0A +(0r- OA)=OA (OB+OC) -OA=OA(9B(9C.633(I)OG= OM+MG =a-a+ob+oc =-a+ob+oc.【题型二】共线、共面向量定理的应用【典例1已知A, B, C三点不共线，对平面ABC外的任一点0,若点M满足而=/醇+协 + OQ.判断曲，曲，庆三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由题知/+B+沆=3而，所以为一血=(而一历)+ (血一药，即说I=麻+由=-MB-MC,所以疝1, MB,庆共面.(2)由(1)知，MA, MB, 流共

10、面且基线过同一点所以 A, B,。四点共面，从而点M在平面A5C内.【典例2如图所示，已知斜三棱柱A8CAlBiG,点N分别在AG和BC上，且满足嬴= MCi,而=k或(QWkW1).判断向量起V是否与向量盛，Xli共面.【解析】因为同=座1, BN=kBC,所以疚=加1+前+前=H1+前+晚= kaA+AB=kaA+BC)+AB=kBA+AB=AB-MBi =AB-k(AA +AB)所以由共面向量定理知向量弧与向量端，与1共面.【典例3已知A，B，。三点不共线，对平面A5C外的任一点O，若点M满足而=/a+协+ OQ.判断宓，MB，前三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1

11、)由已知得为+而+加=3而，所以/ 一而=(而丽)+(而灰即说I=麻+由=一而一流，所以此1，MB，流共面.(2)由(1)知诟1，MB，流共面且过同一点 M所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.【题型三】空间向量数量积的运算【典例1如图所示，已知空间四边形ABCQ的每条边和对角线长都等于1,点E F9 G分别 是AB, AD, CQ的中点，计算：(I)EFBA.求异面直线AG和CE所成角的余弦值.【解析】设蕊=，AC=b, AD=c.则|I = IAl = ICl = 1,，b) = =瓦 c) =c, a) =60, 1C=C a=,AC2 = (a+b+c)2=22+c2+2(+6c+ca) l l 1 l n= l + l + l+2Xg+1J = 6,.AG=6,即 ACl 的长为水.(2)证明 VAG=a+c, BD=ba,宿励=(+)+c)。一。) =ab+b2+bc-a1-ab-ac=0.AaBD, .ACBD,(3)解 BDx=b+ca. AC=a+b,.BA=2, AC =3,BDvAC=Q)+C-d)a+b =b2-a2+ac+bc=l./ K、 BDxAC 6.cos (BDi, AC) =7=Q.A -ABDACAAC与BDi夹角的余弦值为