专题03 一线三垂直模型构造全等三角形（教师版）.docx

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1、专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90,或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅 助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形:1、如图，在直角梯形A3CO中，ADBC, ABBCAD=2, BC=3,设NBCQ=,以。为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90。至DE.当=45。时，求aEAD的面积.当=30。时，求AEAO的面积当0。01CA0. CD

2、=OA,BD=OC(2)的证明方法一样2、已知点尸为NEA厂平分线上一点，于点3, PCLA产于。，点M、N分别是射线A、A尸上的 点.如图1,当点在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PW=PN,求证BM=CN.在（1）的条件.下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系解析：(1) 点尸为NEA厂平分线上一点，PBLAE B,PCAF C,：.PB=PC在 RtAPBM 和 RtAPCN 中PB=PCPM=PN,RtAPBM 咨 RtAPCN：.BM=CN(2)在 RtAPBA 和 RtAPCA 中PB=PCAP=AP：.Rt APBARt APCA：.AB=AC ：.AM+CN=AM+

3、BM.=AB=AC 3、如图，iABC, AB=AC=2f ZB=ZC=40o,点。在线段BC上运动（O不与Bc重合），连接AD, 作NAOE=40。，OE交线段AC.于点E当OC等于多少是，ZA5Q之ZOCE?请证明你的结论.解析：,. ZB=40o.*.ZBAD+ZBDA=UOo*： NAQE=40。：.ZCDE+ZBDA=140o：.ZBAD=ZCDe在aABO和aOCE中ZB=ZCZBAD=ZCDeAB=DC：.AABDQdDCE4、如图，ABC, AB=AcNA=90。，点。在线段 BC 上，NBDEWNC,BELDE,垂足为 E, DE 与 AB交于点尸，求证：BE=DF.解析：过

4、点。做OGAC交BE的延长线于点GBE与OH的延长线交于G点，如图,JDH/AC, NBDH=NC=45。 ZXHBO为等腰直角三角形LHB=HD,而 NEBF=22.5。,. ZEDB=-ZC=22.5o 2：DE平分NBDG而 DE1BG, ABE=GE5BP BE=BG： NDFH+NFDH=乙G+NFDH=9。, ：. ZDFH=ZG,. Z GBH=90o- ZG, Z FDH=90o- Z G：.ZGBH=ZFDhZG = ZDFH在LBGH 和中， NGBH = ZFDH , .*. LBGH咨 ADFH(AAS), ：. BG=DF.BH = DH：.BE=-FD25、已知：在

5、等腰直角aABC中，NBAe=90。，AB=AC乃是AC边上的点，AfLBE交BC于点。,如果A5二CD证明：BF ZABC证明：AB+AE=BC解析：（1）作AC的垂线交Ao的延长线于点，易证瓦血也（ASA）得CW=AE=Co ZM=ZCDM=ZAEB=ZBADf AB=BD,，打尸平分NA3D （等腰三角形三线合一）(2) AB+AE=BD+DC=BC【巩固提升】1、如图，ABLBD于点B, CDLBD于点、D,尸是5。上一点，且AP=PeA尸_LP C求证：AABP义APDC解析：VAPPC, ZAPB+ZCPD=9Oo,A3J_3。于点3, CO_LBD于点D,：. NB=No=90.

6、*.ZCPD+ZPCD=9Oo,.*. NAPB=NPCD,又 AP=PC, ：. ABPPDC 2、如图，二次函数产XA+c的图象与X轴交于点A(_b 0)和点B (3, 0),与y轴交于点N,.以AB 为边在X轴上作正方形ABc。，点P是X轴上一动点，连接Ca过点P作CP的垂线与y轴交于点&(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB (点2不与O, B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大 值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点，连接MN, MB,请问：AMBN的面积是否存在最大值？若存在.， 求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。解析：(1)将点A (-1,

7、0)和点B (3, 0)代入抛物线解析式可求得，0=-2,c=-3,所以y=f_2/3.EO OP(2)通过同,角的余角相等得NEPO=N尸C5, NEoP=NPBC-90,得AEPOs Apcb,所以=二7,设 OE二PB BC1 0 313 o 9OP=X, 贝U y=- - %2+ %=- (%- - )2+ - (0x3)444216139又-0,所以当X=5时，OE有最大值为诂。(3)过点作MGy轴，交BN于点G,设M(M,苏-2W3)。由N、5两点可求得直线BN的解析式:F=X-3,可得 G (m,m-3),13327贝!j Gf=-2+3加，所以 Sambn=T7x (-m2+3m) 3=- (m- ) 2+.2228315当“(5，-丁)时，MN的面积取得最大值。3、如图，直线y=-3x+3与X轴、y轴分别交于A, B两点,抛物线y=-x2+x+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接Pb得尸CBgZkBOA (0为坐标原点)。若抛物线与X轴正半轴交点为点尸，设M是点C,尸间抛物线上的.一点(包括端点)，其横坐标为八(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；(2)当根为何值时，的面积S