专题03 分式的运算（讲通）（教师版）.docx

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1、专题03分式的运算1 .了解分式的概念2 .会利用分式的基本性质进行约分和通分。3 .会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4 .能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5 .会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1 .分式A设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子三就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则分式没B有意义.2 .分式的基本性质A AM A加=B又 MG=BAM（M为不等于零的整式）.3 .最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其

2、中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；A（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但8中必须含有字母且不为0；B（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.A（4）分式有无意义的条件：在分式三中，B当B0时，分式有意义；当分式有意义时，B0.当3=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=O.当B0且A = O时，分式的值为零.例1、若把兀，)的值同时缩小兀为原来的;倍，则下列分式的值保持不变的是(A.x+ yc. (x+)2X2Ixd【答案】C 【解析】xx y 一孙 A. 一=J- = ZXWL ,选项说法错误

3、，不符合题意;1 1 x+y 3 x+y33 c.1J =(? (+y) j+丁 O,选项说法正确，符合题意；B.1 C3j + 2jv 2 3y + 6-1 x+6 选项说法错误，不符合题意;r 3 X2-x26D. 1J- = I-= 萼,选项说法错误，不符合题意 (卜)24)2卜D故选C二、分式的运算1 .基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:b c bc(1)加减运算 一土一二a a a同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.a .c adbc一 =；b d bd异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.、上、一

4、 aa c ac(2)乘法足算 ,=； b d bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.(3)除法运算 + = =空 b d b c be 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算 （?）,.（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方.2 .零指数 0 =l（O）.3 .负整数指数 ，=J7g W Oj为正整数）.a94 .分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.5 .约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.6 .通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一

5、过程称为分式的通分.例2、计算 阴匚的结果是（）m-1m-1A. m+1B. m-1C. m-2D. -m-2【答案】B【解析】解. m2 2m-l _ m2 -2m + l _ （m-1）2m-1m-1m-1m-1故选B.【归纳总结】约分需明确的问题：对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幕的积.【特别提醒】通分注意事项通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式

6、的最高次幕的积.（2）不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幕的积.三、分式方程及其应用1 .分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3 .分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公 分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为。，就是原方程的解.4 .分式方程的应用列分式方程解

7、应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当 设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并 进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.【特别提醒】L解分式方程注意事项去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0, 即为增根，不为0,就是原方程的解.2.列分式方程解应用题的基本步骤审仔细审题，找出等量关系；(2)设合理设未知数；列根据等量关系列出方程；(4)解解出方程；(5)验检

8、验增根；(6)答答题.例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000 件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周 投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件X件，根据题意可列方程为()A.6000840060008400= B. +80= Xx + 80XXC.84006000 C 八60008400=80D.=XXX%-80【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件X件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件,依题意得:60008400x + 80故选：A.综合训练1.

9、 （2022.全国九年级课时练习）若代数式上二有意义，则X的取值范围是（）x + 3A. x3B. xlC. x-3D. x-3【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可.【详解】Y 1,数式V有意义，x + 3/.x+3O,解得-3.故选D.（ a + b2. （2022.老河口市教学研究室九年级月考）化简Q-一 的结果是（）I a J aA. ubB. c-hC. D.a-ba+b【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案.【详解】aa + b_（ + ）（。-叽 a X a a + b=a-b .故选：A.3. （2022.厦门市第九中学

10、九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米.通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为X千米/小时，则可列方程为（）A 170 55 C55170 。 170 55 2.5 C 17055。A.= 3 B.= 3 C.= 3 D.= 32.5x X2.5x XX Xx 2.5x【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为X千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程.【详解】解：设原来通车前的平均时速为X千米/小时，所以通

11、车后，的平均时速为2.5x千米/小时，依题意得：17055。=3X 2.5x故选D.Y-I-I 14. （2022.哈尔滨市第十七中学校）分式方程3 +，=1的解是（）Xx 2A. x=lB. X= - 1C. X=3D. X= - 3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是1 （工-2）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可.【详解】去分母，方程两边同时乘以X （% - 2）得: (%+l) (X-2) +x=x (X-2),x2- 2+x=N - 2x, x=l,经检验，x=l是原分式方程的解.故选：A.X 2n5. （2。22.四川九年级期中）关于的方程一一有增根,则

12、的值为（A. 4C. OD. 3【答案】B 【分析】 将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得x = T,代入整式方程即可.【详解】两边同时乘x+4得：x-2 = ai=有增根代入方程得：I = T故答案为B.6. （2022全国）已知实数Q ,匕满足力=1,那么 J + J的值为（） a +1 b +1A. -B. gC. 1D. 242【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解.【详解】解：V ab = lf .*. a2b2 =1,.11a2+b2 + 2.1=a2 +1 2 +1 a2b2 +b2 +a2 +1_ a Z72 + Q? 1 +b1 + 2=1故选：C.

13、r)7. (2022.日照市田家炳实验中学九年级一模)已知关于X的方程-+ - = 2相无解，则机的值是. x-2 2-x【答案】T或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，让最简公分母X-2 = 0,得到x = 2,然后代入化为整式方程的方程算出机的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：当方程有增根时方程两边都乘1-2,得%-2加=2皿-2),最简公分母-2 = 0,解得 = 2,当x = 2 时，m = l故m的值是1,当方程没有增根时方程两边都乘12,得x 2m = 2m(x 2),e,口2m斛得x = -,2m-1当分母为

14、。时，此时方程也无解，止匕时2机一1 = 0,解得加=g,综上所述，当机=；或1时，方程无解.故答案为：T或1.3 Yrn8. (2022.山东滨州市.九年级其他模拟)已知关于1的分式方程-=-+ 5的解为非负数，则加的取值 x-2 2-x范围为.【答案】桃-10且zn-6【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案.【详解】解:3x m=+ 5% 2 2 X去分母，得：3x = -m + 5(x 2),移项、合并，得：2x = 10 + m系数化为1得：x = W分式方程的解为非负数,解得：加-10且加。一6, 故答案为：加-10且mw-6.1r-L