第一章集合与常用逻辑用语题型归纳与习题.docx

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1、本章知识结构图第一章 集合与常用逻辑用语题型归纳与习题充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条第一节集合考纲解读1 .集合的含义与表示. 了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2 .集合间的基本关系.理解集合之间包含与相等的含义.能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义.3 .集合的基本运算.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.命题趋势探究有关集合的高考试题

2、，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分.近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展,考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练.预测2015年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立.具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现.北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现.考查学生的综合推理能力.（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用.知识点精讲一、集合的有关

3、概念1 .集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象.2 .集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.无序性：集合与其组成元素的顺序无关.如,c = 4,G）3 .集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图、数轴）和区间法.4 .常用数集的表示R 实数集Q有理数集Z 整数集N自然数集N*或N+正整数集C 一复数集二、集合间的关系1 .元素与集合之间的关系元

4、素与集合之间的关系包括属于（记作。 A）和不属于（记作。eA）两种.空集：不含有任何元素的集合，记作0.2 .集合与集合之间的关系（1）包含关系.子集：如果对任意QA = AB,则集合A是集合B的子集，记为Aq5或显然Aq A .规定：0q A.(2)相等关系.对于两个集合A与3，如果A = 8,同时6 = A,那么集合A与3相等，记作A = B(3)真子集关系.对于两个集合A与3,若Aq3,且存在78,但任A,则集合A是集合8的真子集,记作aUb或bVa.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表1-1所示.表1一1交集

5、nAcB = xx Ac3并集Au5 = x x 旗沃 3由补集fA。A = x | x /且 生 A1.交集由所有属于集合A且属于集合8的元素组成的集合，叫做A与8的交集，记作Ac8,即ArB = x x B .2 .并集由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，叫做A与8的并集，记作Ad3,即AjB = x x 4或 j .3 .补集已知全集/,集合Aq,由/中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集/的补集，记作6/A,即qA = xx且xe A .四、集合运算中常用的结论1 .集合中的逻辑关系(1)交集的运算性质.AcB = BcA, AnB A , AnB BAc =

6、A, AcA = A, An0 = 0.(2)并集的运算性质.AjB = BjA, A AuS , B AuB A3 = / , AuA = A, Au0 = A.(3)补集的运算性质.寂 A) = A, 6/0 = /, = 0(zA)nA = 0 , Au(zA) .补充性质：AnB = AAuB = BAzA An?zB = 0 .(4)结合律与分配律.结合律：u(BuC) = (uB)oC n(BnC) = (nB)nC.分配律：An(BuC) = (AnB)u(AnC)Au(BnC) = (AuB)n(AuC).(5)反演律(德摩根定律).颁AcB) = ( /A)5”)AuB) =

7、 ( A)cg8)即“交的补=补的并”，“并的补=补的交2 .由5N*)个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2个，非空子集有2-1个,真子集有2-1个，非空真子集有2”-2个.3 .容斥原理Card(Aj B) = Card(A) Card(B) - CardAn B).题型归纳及思路提示题型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性.例 1.1 设qR,集合1, + /?, =卜,2,4,则b-=()A. 1 B. -1 C. 2 D. -2解析：由题意知0lq+ ,又4(),故。+ =(),得夕=一1,则集合al,0, = 0,T,b,可得a = T,b = 3

8、a = 2,故选 C。变式 1 （2012 新课标理 1）已知集合 A = l,2,3,4,5,B = （x,y）xA,ycA,则8 中所含元素的个数为（）.A. 3 B. 6 C. 8 D. 10变式2 （2013山东理2）已知集合A = 0,l,2,B = x-yxA,yA中元素的个数为（ ）.A. 1 B. 3 C. 5 D. 9变式3若集合儿孙,lg(肛) = 0,x,y,则x =, y=.题型2集合间的基本关系思路提示(1)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.(

9、2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.一、集合关系中的判断问题例 1. 2 若 A = xx = 47 + L7Z,j = xx = 47-3,Z,C = xx = 8 + l,77Z,则A, B, C之间的关系为（）.A.。商B A B. UBC C. CJA = B D. A = B = C解析：解法一：集合B中元素x = 4 3 = 4( l) + l,eZ,故集合A = 3,而集合。中元素x = 42 + lZ,故C(jA解法二：列举A = ,-7,-3,1,5,9, ,B = ,-7,

10、-3,1,5,9, , C = -7,1,9, 因此CUA = 8,故选C.评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法.变式 1 设集合M =xx = + J,女z, f =xx = j + g,%z,则A. M = N B. Mj N C. MY N D. McN = 0例 1.3 设A = x2-8+15 = ,B = x0r-l = .(1)若4 = ,，试判断集合A与集合8的关系；5(2)若3qA,求实数。组成的集合C.分析：(1)先求集合A,再由求集合3,确定A与B的关系.(2)解方程以一 1 = 0,建立。的关系式求。，从而确

11、定集合C.解析：(1)由f-8x+15 = 0得x = 3或x = 5,所以 4 = 3,5.若 q = ,得！-i = o,即 = 5,所以 = 5,故 3A.551 J(2)因为A = 3,5,又BqA.当3 = 0时，则方程依1 = 0无解，则。=0；当3w0时，则0,由姓一1 = 0,得x =,所以，=3或1 = 5,即 =,或 =a a a35故集合c = o,LL.I 3 5评注：(1)研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.(2)含参数的一元一次方程= 解的确定：当w时，方程有唯一实数解x = 2；a当Q= = 0时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当。=

12、0且hw时，方程无解.变式 1 己知集合A = xf-3-l,集合B = xp + lx2p-1,若5A,求实数p的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例L4 (2012大纲全国理2)已知集合A = l,3,标,3 = 1,加,4口3 = 4,则m=()A. 0或6 B. 0或3 C. 1或G D. 1或3解析：由Ad3 = A,得B = A,故m=3或m=J布且 z1,所以 ? = 0或3.故选B.变式1已知集合A = x|3vxv6,3 = xxa,R,若A = B，则实数的取值范围是.变式2已知集合A = xxl,3 = xx,且AuB=R,则实数的取值范围是.变式3已知集合

13、尸= xi,M=,若PuM = P,则的取值范围是(). (-8,11B. 11,4co)C. -1,1D. (co,11 LJ1,o)三、集合关系中的子集个数问题例1.5已知集合4 = x2-3-100,z,则集合A的子集个数为.分析：本题应首先确定集合A中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合 A = x | f -3-10 0, Z = -2, -1, (), 1,2,3,4,5,共 8 个元素，则集合 A的子集的个数为28 =256.例L6已知集合A = x3一3 x+2 =O,xeR , 5卜x () x 5, ,满足条件A C E的集合。的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：由A = l,2,8 = l,2,3,4且AqCq3,得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集，即求集合3,4的子集的个数为2? =4,故选D.变式1已知集合例满足l,2UMqxx10,xN*,求集合M的个数.题型3集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例 L7 已知集合 = y | y = /+ i, r,n =k| y =