和圆有关的比例线段 教案设计.docx

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1、和圆有关的比例线段教案设计教学建议1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不 但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推 论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混 淆.2、教学建议本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例 2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4 并做有关的练3.(1)教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步 培养学生研究性学习意识，激发学生的

2、学习热情；(2)在教学中，引导学生观察猜测证明应用等学习，教师组织下，以学生 为主体开展教学活动.第1课时：相交弦定理教学目标：1 .理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和 计算；2 .学会作两条线段的比例中项；3 .通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问 题的能力和探索精神；4 .通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.教学重点：正确理解相交弦定理及其推论.教学难点：在定理的表达和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混， 从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程， 了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成

3、比例的结论直接写出 定理.教学活动设计（一）设置学习情境1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）引导学生观察图形，发现规律：D ,B.进一步得出：APCsDPB如果将图形做些变换，去掉AC和BD ,图中线段PA ,PB ,PC ,PO之间 的关系会发生变化吗？为什么？组织学生观察，并答复.2、证明：弦AB和CD交于。0内一点P.求证：PAPB=PCPD.（A层学生要训练学生写出、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成） （证明略）（二）定理及推论1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在0中；弦AB,CD相交于 点 P ,

4、那么 PAPB=PCPD.2、从一般到特殊，发现结论.对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P.提问：根据相交弦定理，能得到什么结论？指出：PC2=PAPB.请学生用文字语言将这一结论表达出来，如果表达不完全、不准确.教师 纠正，并板书.推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项.3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可表达为：半圆上 一点C向直径AB作垂线，垂足是P ,那么PC2=PAPB.假设再连结AC ,BC ,那么在图中又出现了射影定理的根本图形，于是有:PC2=PAAC2=APC

5、B2=BPAB（三）应用、反思例1圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第 二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.例2 ：线段a ,b.求作：线段C ,使c2=ab.分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学 生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.作法：口述作法.反思：这个作图是作两线段的比例中项的问题，可以当作根本作图加以应 用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.练习1如图，AP=2厘米，PB=2. 5厘米，CP=I厘米，求CD.变式练习：假设AP=2厘米，PB=2

6、.5厘米,CP ,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少？将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣练习2如图，CD是0的直径，ABCD ,垂足为P ,AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的长.练习3如图：在0中，P是弦AB上一点，OPPC,PC交0于C.求证:PC2=PAPB引导学生分析：由APPB,联想到相交弦定理，于是想到延长CP交。于D ,于是有PCPD=PAPB.又根据条件C）PPC.易 证得PC=PD问题得证.（四）小结知识：相交弦定理及其推论；能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；思想方法：学习了由一般到特殊（由定理直接得到推论的过程）的思想方 法.（五）作业教材 P132

7、 中 9 ,10；P134 中 B 组 4（1）.第2课时切割线定理教学目标：1 .掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2 .掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何 图形归纳出几何性质的能力3 .能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义 的观点.教学重点：理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.教学难点：定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.教学活动设计（一）提出问题1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外 一点P ,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA ,PB ,PC ,PD

8、的长之间有 什么关系？（如图1）当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点（如图2）时，由 圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA ,PB ,PT 之间又有什么关系？2、猜测:引导学生猜测出图中三条线段PT ,PA ,PB间的关系为PT2=PAPB.3、证明:让学生根据图2写出、求证，并进行分析、证明猜测.分析：要证PT2=PAPB ,可以证明，为此可证以PAPT为边的三角形与以 PT ,BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP ,PB.（图3）.容易证明PTA=B又P ,因此aBPTsaPA ,于是问题可证.4、引导学生用语言表达上述结论.切割线定理从圆外一点引圆的

9、切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项.（二）切割线定理的推论1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA ,PB ,PC ,PD之间有 什么关系？观察图4 ,提出猜测:PAPB=PCPD.2、组织学生用多种方法证明：方法一：要证PAPB=PCPD ,可证此可证以PA ,PC为边的三角形和以PD ,PB 为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC ,BD ,容易证明PAC=D ,P ,因 此4PACsPDB（如图 4）方法二：要证，还可考虑证明以PA,PD为边的三角形和以PC、PB为边的 三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明D ,又P.因此 PADPCB.

10、（如图 5）方法三：引导学生再次观察图2 ,立即会发现.PT2=PAPB ,同时PT2=PCPD , 于是可以得出 PAPB=PCPD. PAPB=PCPd推论:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等.（也叫做割线定理）（三）初步应用例1 ：如图6 ,0的割线PAB交0于点A和B ,PA=6厘米，AB=8厘米， PO=IO.9厘米,求0的半径.分析：由于PO既不是。0的切线也不是割线，故须将PO延长交。0于D , 构成了圆的一条割线，而OD又恰好是。的半径，于是运用切割线定理的 推论，问题得解.（解略）教师示范解题.例2如图7 ,线段AB和。0交于点C ,D

11、 ,AC=BD ,AE ,BF分别切。于点 E ,F ,求证：AE=BF.分析：要证明的两条线段AE ,BF均与0相切，且从A、B两点出发引的 割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD , AD=BC.因此它们的积相等， 问题得证.学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=ACCD 和 BF2=BDDC 等.稳固练习：P128练习1、2题（四）小结知识：切割线定理及推论；能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；方法:在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重 要，应注意很好地掌握.（五）作业 教材P132中，11、12题.探究活动最正确射门位置国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎 趴?.32米，高2. 44米，试确定边锋最正确射门位置（精确到1米）.分析与解如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最正确射门 位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角 都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所 示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.故，又，0B=30. 34+7. 32=37. 66.0P=（米）.注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.BOP可为任意角