函数的导数运算法则.docx

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1、函数的导数运算法那么一、选择题1 .函数y=(x+l)2(xT)在X=I处的导数等于()A. 1B. 2C. 3D. 4答案D解析 y&prime； = (x+l) 2&prime； (x-l) + (x+l) 2 (-l)feprime;=2 (x+l)&bul1； (-l) + (x+l)2=3x2+2-l ,fethere4;y&prime；x=l=4.2 .假设对任意 x&isin； R , f&prime； (x) =4x3 , f (1)=-1 ,那么 f(x) = ()A. x4 B. x4-2C. 4x3-5 D. x4+2答案B解析*.*f&prime； (x)=4x3. f

2、ethere4; f (x)=x4+c ,又 f =-1fethere4;l+c=-l ,&there4；c=-2 ,fethere4;f(x)=x4-2.3.设函数f (x)=xm+ax的导数为f&prime； (x) =2x+l ,那么数列 lf (n) (n&isin；N*)的前 n 项和是()A.nn+1 B.n+2n+lC. nn-1 D. n+ln答案A解析*.*f (x) =xm+ax 的导数为 f&prime； (x)=2x+l , fethere4;m=2 ,a=l ,fethere4;f (x)=x2+x , 即 f(n)=n2+n=n (n+l),&there4；数列lf

3、 (n) (n&isin； N*)的前 n 项和为：Sn=Ilfetimes;2+12×；3+13×；4+ln(n+l)=l-12+12-13+ln-ln+l=l-ln+l=nn+l ,应选A.4 .二次函数y=f (x)的图象过原点，且它的导函数y=f&prime； (x) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线，那么函数y=f()的图象的顶点 在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由题意可设 f (x)=ax2+bx , f&prime； (x)=2ax+b ,由于 f&prime； (x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a> ；

4、O , b> ； O ,那么 f (x) =ax+b2a2-b24a ,顶点-b2a ,-b24a在第三象限,应选C.5 .函数y=(2+x3)2的导数为()A. 6x5+12x2 B. 4+2x3C. 2(2+x3)2 D. 2(2+x3)&bull；3x答案A解析. y= (2+x3) 2=4+4x3+x6 ,&there4；y&prime；=6x5+12x2.6 . (2019Gbu;江西文,4)假设函数 f (x)=ax4+bx2+c 满足f&prime； (1)=2 ,那么 f&prime； (-1) = ()A.-1 B. -2C. 2 D. O答案B解析此题考查函数知识，求导

5、运算及整体代换的思想 ,f&prime；(x)=4ax3+2bx ,f&prime；(-1)=-4a-2b=-(4a+2b) ,f&prime；(1)=4a+2b ,fethere4;f&prime；(-1)=-ffeprime; (1)=-2要善于观察，应选B.7 .设函数 f (x) = (l-2x3) IO ,那么 f&prime；=()A. O B.-1C.-60 D. 60答案D解析f&prime；(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)&prime；=10(1-2x3)9&bull； (-6x2)=- 60x2(I-2x3)9 ,fethere4;f&prime；(1)=60.8

6、 .函数y=sin2x-cos2x的导数是()A. 22cos2-fepi；4 B. cos2x-sin2xC.sin2x+cos2x D.22cos2x+fepi；4答案A解析y&prime；=(sin2x-cos2x)&prime；=(sin2x)&prime；一(cos2x)&prime； =2cos2x+2sin2x=22cos2-fepi；4.9. (2019&buH；高二潍坊检测)曲线y=x24-31nx的一条切线的斜率为12 ,那么切点的横坐标为()A. 3 B. 2C. 1 D. 12答案A解析 由 f&prime； (x)=x2_3x=12 得 x=3.10.设函数f(x)是

7、R上以5为周期的可导偶函数，那么曲线y=f(x) 在x=5处的切线的斜率为()A.-15 B. 0C. 15 D. 5答案B解析由题设可知f(x+5)=f(x)fethere4;f&prime；(x+5)=ffeprime;(x) ,fethere4;f&prime；(5)=ffeprime; (0)X f (-) =f (x) , fethere4; f&prime； (-) (T)= f&prime； (x)即 f&prime；(-)=-ffeprime;(x) ,fethere4;f&prime；(O)=O故 f&prime； (5) =f&prime； (O)=O.故应选 B.二、填空

8、题11 .假设 f (x) =x ,&phi； (x)=l+sin2x ,那么 f &phi ； (x) = , &phi ； f (x) =.答案 2sinx+fepi ； 4 , l+sin2x解析 f &phi ； (x) =l+sin2x= (sinx+cosx) 2=Isinx+cosxI=2sinx+fepi；4.&phi；f(x)=l+sin2x.12 .设函数 f (x) =cos (3x+fephi ；) (0<；&phi； < ； &pi ；),假设 f (x)+f&prime； (x)是奇函数，那么&phi；=.答案π6解析f&prime； (x)=-3si

9、n(3x+fephi;),f(x) +f&prime；(x)=cos(3x+fephi；)-3sin(3x+fephi；)=2sin3x+fephi；+5&pi；6.假设 f (x)+f&prime； (x)为奇函数，那么 f (O)+f&prime； (0)=0 ,即0=2sinfephi;+5&pi；6 ,&there4；&phi；+5&pi；6=k&pi； (k&isin；Z).X V&phi；&isin； (0 ,π) ,fethere4;&phi； =&pi； 6.13 .函数y=(l+2x2)8的导数为.答案32x(l+2x2)7解析令U=I+2x2 ,那么y=u8 ,fet

10、here4;y&prime；x=yfeprime;u&bull；u&prime；x=8u7febull;4x=8(1+2x2) 7&bull；4x=32x(l+2x2)7.14 .函数y=xl+x2的导数为.答案(1+2x2) 1+x21+x2解析y&prime；=(xl+x2)&prime；=xfeprime;l+x2+x(l+x2)&prime；=1+x2+x21+x2 =(1+2x2)1+x21+x2.三、解答题15 .求以下函数的导数：(1)y=xsin2x; (2)y=ln (x+l+x2)；(3)y=ex+lex-l；(4)y=x+cosxx+sinx.解析 (1) y&prime

11、； = (x)feprime； sin2x+x (sin2x)feprime； =sin2x+xfebull；2sinxfebull；(sinx)&prime；=sin2x+xsin2x.(2)y&prime；=lx+l+x2febul1；(x+l+x2)feprime； =lx+l+x2 (l+xl+x2) =+x2 .(3)y&prime； = (ex+l)&prime；(e-l)-(ex+l)(e-l) &prime；(e-l) 2=-2ex (e-l)2 .(4)y&prime；=(x+cosx)feprime;(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)feprime;(x+s

12、 inx) 2= (l-sinx) (x+sinx)-(x+cosx)(l+cosx)(x+sinx)2 =-cos-sinx+sin-cos-l (x+sinx)2.16 .求以下函数的导数：(1)y=cos2 (x2-x)； (2)y=cosxfebull;sin3x;(3)y=xloga(x2+x-l)；(4)y=log2-lx+l.解析 (1) y&prime； = cos2 (x2-x) &prime；=2cos (x2-x)cos(x2-x)&prime；=2cos (x2-x)-sin (x2-x)(x2-)feprime;=2cos (x2-x)-sin(x2-x)(2x-l)

13、=(l-2x)sin2(x2-x).(2)y&prime；=(cosxfebull;sin3x)feprime；=(cosx)feprime；sin3x+cosx(si n3x)feprime;二一SinXSin3x+3CoSXCOS3x=3COSXCoS3xsinxsin3x.(3) y&prime； =Ioga(x2+x-l) +x&bull； lx2+-ogae (x2+-l)feprime; =Iog a (x2+x-l) +2x2+xx2+-ogae.(4) y&prime； =x+l-l-lx+lfeprime; Iog2e=x+l-og2ex+l-+l (x+l) 2 =21og

14、2ex2-l.17 .设 f (x) =2sinxl+x2 ,如果 f&prime； (x) =2 (l+x2) 2&bull； g (x), 求 g ().解析.f&prime； (x) =2cosx (l+x2) -2sinxfebull; 2x (l+x2) 2=2 (l+x2)2 (l+x2)cos-2xfebull;sinx,又 f&prime； (x)=2(l+x2)2&bull；g(x).fethere4; g (x) = (l+x2) cosx_2xsinx.18 .求以下函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(l)y=flx; (2)y=f (x2+l).解析解法L设y=f(u) ,u=Lx ,那么y&prime；x=yfeprime;u&bull；u&prime；x=ffeprime;(u)&bull；-Ix2=-lx2ffe prime；lx.解法2： y&prime；=fIx&prime；=ffeprime;Ix&bull；Ix&prime；=-lx2ffeprime；lx.解法 1：设 y=f(u) ,u=v , v=x2+l ,