专题4导数与函数之恒成立问题-同构变换公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题4导数与函数之：恒成立问题(二)淬炼策略五：同构变换若7(x)0能够变形成了g(x)z(%),然后利用/(x)的单调性，如递增，转化为g(x)Z(X),即为同构变换,例如：优=/%, = *%,% + jn % = jn %靖 X jn % = ln C %exX【例10】求下列X成立问题的结果(1)已知函数K)二MJkT),若r)20恒成立，则实数Z的取值范围是；(2)已知函数/(=2-H*kMl,若r)O恒成立，则正数Z的取值范围是；(3)已知函数,I Hr 1 11,若 I恒成立，则正数Z的取值范围爰；(4)已知不等式u? -4(1)2hu对任意正数X恒成立，则实数Z的取值范围是；(

2、5)已知函数 “二J-0,其中b 。，若“()；口恒成立，则实数Z与6的大小关系；(6)已知函数) = g-3-1,若/()No恒成立，则实数Z的取值范围是；(7)已知函数Inlr I ,若 r)2U恒成立，则实数Z的取值范围是；(8)已知不等式( _之公+1 ,对Vw(0工)恒成立，则左的最大值为；(9)若不等式“一hu.T)对30恒成立，则实数N的取值范围是；【解析】(1) /(x) 0xex -(x+ln%)0ex+lnx a(x+lnx)oe ( = x+lnx),oQtci Q 0) tet ， ct (t 1)又 y = ，y = 2-,令 y 0 ,得/ 0 或 0 0 ,得P,

3、所以 在(8,0), (0,1)递减，在(1,+8)递增，所以，当/0时，j0时，yeci (t O)aO=Oe a0时，a , 由于= 1, 当且仅当%+ hU: + 1x + lnx + l x + lnx + lx+lnx = 0等号成立，所以l.(3) /(x) 0 +e(x+lnx+l) 0ex+hw +e(+lnx+l),当 x+lnx + l。时，x+lnx原不等式恒成立；当x+lnx+l0时，a ,由(1)中可得eXex,当X = I时，% + Inx +1等号成立，所以e-+e e(x + ln%) + e=e,当且仅当 + lx = l等号成立，X + Inx + 1x +

4、 Inx +1所以4e ./八 X / 八、1JXeX-IrLX 上 TXeX-InX cx+inx-Iwc x + lnx + l-lnx ,(4)犹尤a(X+ l)ln%O ,由于= 1 ,所% + lx + 1x + 1% + 1以1l .x+Mnx _1(5) f( 0 xbcx cwc + % +1 Qx+binx _ x-i anxa.Inxx+w _1 r + 7nr + _ r_i由于x=b,当且仅当x + x = 0等号成立，所以b.InxInx(6) aex-Inx-I 0 a lnxbl ,由于 InX+ 1%, ee%,两者都是当且仅当 x = l 等号成 e、rnl

5、Inx+ 1 JX 1、1五，贝 U r W = 一，所以 2 一.e ex ee(7) ae2x -ln2x-l0 a ln2+1 ,由于ln2x + l2x, e? e2x ,两者都是当且仅当兄=工e2芹 c、ln2x + l Ix11等于成立，贝U%- =,所以4 一.e2ex ee(8) ex-lkx + lwck0时，不等式-2( vcs ( 恒成立，求J的取值范围.【解析】(1)函数/(%) = 111%-21(70)的定义域为(0,+8), JL(x) = -2 = -.当O,贝1Jr(X)0,此时函数/(x)的单调递减区间为(0,+8)；当 0 时，由 r(x)O ,由 f(x

6、)OOx.此时，函数/(X)的单调递增区间为,单调递减区间为去+.综上所述，当0时，函数7(%)的单调 递增区间为。,|,单调递减区间为,+.(2)解：7-2(x) cos(x) o efllnx2x -2/(x)-cos/(%) O o ef(x) -2f(x)-cos/(%) O ,设g(，) = e2，COs，其中/ = (x),则 g= e2 + sin，设=e +sin1-2 ,则 hf(t) = et +cost ,当10时，el, sinl,且等号不同时成立，则/(。1 , CoS-l,则0恒成立，则g(。在(O,+e)上单调递增，又因为 g=T, gr(l) = e-2 + s

7、inl0,所以，存在务 (,l)使得 g(%)=。，当。/时，g)O.所以，函数g在(el。)上单调递减，在(Zo,y)上单调递增，且g(0) = 0,作出函数g的图象如下图所示：由中函数/(x)的单调性可知, 当0时，“X)在(0,+8)上单调递增，当工。+时，/(x)w ,当x+8时,f (x)o,所以1 = (x)R,此时go)0 时，f(x)ma=f = aln-a ,且当 Xf ()+时，/(x)-, 此时函数/(x)的值域为Qln-q ,即1 w18,Qln-q . 当Qln-QVO时，即当OVa2e时，g)0恒成立，合乎题意；(ii)当 Qln-。0 时，即当 42e 时，取 =minQln-qo j ,结合图象可知 g(0)0,不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是(0,2e.