专题37等差数列及其前n项和（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题37等差数列及其前nxx知 识 梳 理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题 型 归 类题型一：等差数列的基本运算题型二：等差数列的判定与证明题型三：等差数列项的性质题型四：等差数列前项和性质的应用题型五：等差数列的前项和的最值培 优 训 练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强 化 测 试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1 .理解等差数列的概念.2 .掌握等差数列的通项公式与前项和公式.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4 . 了解等差数列与一次函数的关系.【考点预测】1 .等

2、差数列的有关概念等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为仁色二l = d(常数)5N2, N*),等差中项若三个数m A, 成等差数列，则A叫做。与的等差中项，且有A=审.2 .等差数列的有关公式(1)通项公式：an=a + (n-l)d.“工八 一,n(n-l n(a-a)(2)前项和公式：8=口+ 2 勿 或一上3 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n, mN*).(2)若丽为等差数列，且左+/=加+(左，/, m, N*),

3、则以+的=4加十所.(3)若是等差数列,公差为d,则次，ak+m, ak+2m,(k,加N*)是公差为侬L的等差数列.(4)数列Sm Slm-Smy S3m- Slmy也是等差数列.(5)- = QTl l)a.(6)等差数列所的前项和为8,为等差数列.【常用结论】1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2%则S偶一S奇=而，去=旦；J 偶 6Z1SK若项数为 272 1,贝S 偶=(一1)。2, S 奇= Uln, S 奇一S 偶=。，G =- 1 3 偶 n 12.两个等差数列所,瓦的前项和八之间的关系为兽=詈.12n-l Drl【方法技巧】1 .等差数列的基本运算的解题策略等差数

4、列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，所，5Q知其中三个就能求另 外两个，体现了方程思想.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而m和d是等差数列的两 个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.2 .等差数列的判定与证明方法3 .如果丽为等差数列，m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，p，qN*）.因此，若出现新心碗，碗+等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与加（或其他项）有关的条件；若求加项,可由4根=（4机- + 机+）转化为求dm-n ,。加十或Clm-nClm+n 的值.4 .等差数列前项和的性质在等差数列z中，&为其前项和，则（I）S2 =几（。1 +

5、Gn）=+ d-l）；（2）- = Qn l）an;当项数为偶数2时，S偶一S奇=而；项数为奇数2一1时，S奇一S偶=。中，S奇：S偶=：-1）5 .求等差数列斯的前n项和Sfl的最值的方法二、【题型归类】【题型一】等差数列的基本运算【典例1】（2020全国卷）记的为等差数列念的前n项和.若G = 2,及+。6 = 2,则SlO=【解析】设等差数列斯的公差为力贝U。2+。6=2。1 + 61=2义（-2） + 6d=2.解得d= 1.所以 Slo=IoX（ 2）+当义 1 = 25.【典例2】（2020.新高考全国I卷）将数列2一1与3一2的公共项从小到大排列得到数列 an,则z的前项和为.【

6、解析】法一（观察归纳法）数列2几一1的各项为1, 3, 5, 7, 9, , 13,；数列3一 2的各项为1, 4, 7, 10, 13,.现观察归纳可知，两个数列的公共项为1, 7, 13,，是 首项为1,公差为6的等差数列,则斯=1+6（-1）=6-5.故前1项和为S=n (1+6-5)2= 3n2-2n.法二（弓入参变量法）令bn=2n-l, Cm=3m2, bn=cm9则2几一1=3加一2,即3根=2+1, m必为奇数.令 m=2t-l,则几=3%2=1, 2, 3,）.3=/73才2 = C2/1 = 6%-5,即 Cln = 6ri - 5.以下同法一.【典例3】已知等差数列念的前

7、项和为若战=。8 = 8,则公差d=（）【解析】 .S8 = 08 = 8, :.01 + 02+ + 08 = 8, S7 = 74 = 0,则 04 = 0.as44=84 =2.故选D.【题型二】等差数列的判定与证明【典例l】(2021.全国甲卷)已知数列z的各项均为正数,记&为斯的前项和,从下面 中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列斯是等差数列；数歹U0是等差数列；s = 3m.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】3.已知z是等差数列,a2=3a.设数列丽的公差为d,则 a2 = 3a=a+d, 得 d=2a,71(72 1)所 以 Sn l(21 +2.因

8、为数列念的各项均为正数，所以4大= ZT7i,所以吊工二一“=(几+1)，*周*=4*(常数)，所以数列、瓦是等差数列.今.已知斯是等差数列，m是等差数列.设数列如的公差为4Ell (-1)1 9,. f G贝 U S=na+2d=rrd+ a 2 .因为数列K是等差数列，所以数列其的通项公式是关于的一次函数，则。13=0,即d=20, 所以 2 = +d=3.0.已知数列代屈是等差数列,42 = 341,所以 Sl=, S2 = 1+2=4.设数列低的公差为d, d0,则，一，得 a=d29所以水=#i +(Ml)d=d,所以 S=n2d2,所以 an = S-Sn-i = 2cl2-(n-

9、l)2d2=2d2n-d2(n2),是关于 n 的一次函数，且 = 满足上 式，所以数列外是等差数列.【典例2已知在数列斯中，Qi = I, =2-i + l(n2, .N*),记典=Iog2(斯+1).判断瓦是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列所的通项公式.【解析】(1)瓦是等差数列，理由如下：biIog2(1 + 1)=log22 = 1,当 2 时，bn bn-1 l0g2( + 1) l0g2(-1 +1)a 12-i + 2=10g21g2-i + l = 1为是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn=l + (n-l)l=n9/. (+l = 2% = 2, C

10、ln 2 - 1.【典例3】已知数列词满足G = I, 且 na+ (Z： +1 )a=22+2n.(1)求 12, 13；证明数歹d是等差数列，并求所的通项公式.【解析】(1)由题意可得。22=4,则 Q2 = 2+4,又 Oi = I,所以。2=6.由 2。3 32=12,得 2。3=12+3。2,所以43=15.(2)由已知得汽九+1)/Z1(Z21)=26Zn+ln+1Cln=2 n 所以数歹IJ拗是首项为岸=1,公差为d=2的等差数列, 则詈=1 +25 1)=2-1,所以 an=2n2n.【题型三】等差数列项的性质【典例1】设S为等差数列丽的前项和，且4 + q5 = 46 + 0

11、4,则曲等于(A. 72 B. 36 C. 18 D. 9【解析】Va+a4=2a59。5 = 4,.c 9(m+9) 9 =2一 %z5 36.故选B.【典例2在等差数列斯中，若2 +。4 +。6 +。8 + 10 = 80,则。7ga8的值为()A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【解析】 *.* 2 + 4 + 6 +。8 + 10 = 56 = 80,。6 =16,C16 + 48 = 27 9-1 J CTl 26 I 28 9611即 ch Ia8=6 = 8.选C.【典例 3】已知数歹U斯满足 2斯=九l + t+l(N2), Q2 + q4 + q6=12, 41+q3 +

12、 q5 = 9,则 b +Q4等于()A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】因为2a=a-+(+,所以斯是等差数列，由等差数列性质可得。2 +。4 + 6 = 34=12,41+43 + 05 = 3 613 = 9 9所以 O3+q4=3+4 = 7.故选B.【题型四】等差数列前项和性质的应用【典例1已知等差数列z的前10项和为30,它的前30项和为210,则前20项和为()A. 100B. 120C. 390D. 540【解析】设为为等差数列丽的前几项和，则Sl0, S20 S10, S3。一20成等差数列，所以 2(S20 Sl) = Sl + (S3O-S20),又等差数列z的前10

13、项和为30,前30项和为210,所以 2(S2o-3O) = 3O+(21O-S2o),解得 Szo=IOO.故选A.【典例2】在等差数列如中，m = 2018,其前项和为若克一而=2,则&oi8的值等 于（）A. -2018B. -2 016C. -2 019D. -2 017【解析】由题意知，数列印为等差数列，其公差为L所以皤=学+（2018 1）X1 = -2018 JZ Uio 1+ 2017=-1.所以 S20i8= -2 018.故选A.【典例3】（2020全国）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心 有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（A. 3 699 块B. 3 474 块C. 3 402 块D. 3 339 块【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d=9,首项为a = 9 的等差数列.由等差数列的性质知Sn, Sl-Sn. S3-S2成等差数列，且（S&Q （S2八一SQ =ri2d9 则 9/ = 729,解得=9,