2.4.1圆的标准方程公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、2.4圆的方程2.4. 1圆的标准方程课前预习素养启迪f知识梳理J1 .圆的定义圆是平面上到定点的距离等于迎的点的集合.在平面直角坐标系中, 如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.2 .圆的标准方程如图,在平面直角坐标系中，OA的圆心A的坐标为(a, b),半径为r,M(x, y)为圆上任意一点,OA就是以下点的集合P=M MA=r.(2) (-a) 2+ (y-b) 2=r2.若点M(x, y)在OA上,点M的坐标就满足方程;反过来,若点M的坐 标(x, y)满足方程,就说明点M与圆心A间的距离为r,点M就在OA 上.把方程称为圆心为A (a, b),半径为r的圆的标准方程.问题

2、确定一个圆的最基本几何要素是什么？答案:圆心与半径.丁预习自测,1 .圆P(X-2)2+(y+l)2=3的圆心坐标为(B )A. (2, 1) B. (2,-1)C. (-2, 1) D. (-2, -1)2 .方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的图形是(C )A.以(a, b)为圆心的圆B.以(-a, -b)为圆心的圆C.点(a, b)D 点(-a, -b)解析：因为(x-a)2+(y-b)2=0,所以因共所以O3 .圆(x+2L+y2=5关于直线y=-X对称的圆的方程为(B )A. (-2)2+y2=5B. x2+(y-2)2=5C. (x+2)2+(y+2)2=5D. x2+(y+2

3、)2=5解析：由圆的方程知，圆心(-2, 0),半径r=5.设圆心(-2, 0)关于y=-(上=1_的对称点为(a, b),则解得二2所以所求对称圆的圆心 (k2 -，为(0, 2),半径为巡,所以所求对称圆的方程为x2+(y-2)2=5.4 .(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(AD )A. X2+ (y-4) 2=20B. (-4)2+y2=20C. x2+(y-2)2=20D. (-2)2+y2=20解析:令X=O5则y=4;令y=0,则x=2,所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的 交点分别为A(0, 4), B0). IABI =y

4、22 + (-4) 2=25,以A为圆心,过 点B的圆的方程为x2+(y-4)0.以B为圆心,过点A的圆的方程为 (-2) 2+y2=20.5 .已知直线L：3x+y-6=0与圆心为M(0,1),半径为5的圆M相交于 A, B两点,则圆M的方程为, IABI =.解析:因为圆的圆心为M(0, 1),半径为遥，所以圆的方程为x2+(y-D,根据圆心M(0, 1)到直线3x+y-6=0的距离为d=也普 V9+l 2所以 IABI =2J5-(p) 2=10.答案，+(y-1)2=5 10课堂探究素养培育置探究点一,求圆的标准方程例1写出下列各圆的标准方程：圆心在点C(3, 4)处,半径是5;经过点

5、5),圆心为(3, 1).解：(1)所求圆的标准方程为 (-3)2+(y-4)2=5.设圆的标准方程为(x-3)2+ (y-l)2(r0),r-J(2-3)2+ (5-1)2-17,所以圆的标准方程为(x-3) 2+ (y-l) 2=17.g方法总结要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标 和半径长;反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和 半径.J针对训练写出下列各圆的标准方程.圆心在坐标原点，半径为2;(2)圆心是直线x+y-l=O与2-y+3=0的交点,半径为;. 4解：(1)设圆的标准方程为(-a) 2+ (y-b)2=r2 (r0),因为圆心在坐标原点

6、,半径为2,即 a=0, b=0, r=2.所以圆的标准方程为2+y2=4.因为圆心是两直线的交点，(2I (% + y-l = 0, /曰 x = 3,2-y + 3 = 0 v = 9V - 3,所以圆心为(-1,|),又因为半径为;，所以圆的标准方程为(+)2+ (y-) 2=F撩究点二，判断点与圆的位置关系例2已知两点P1 (3, 8)和P24),求以线段PE为直径的圆的方程, 并判断点M(5, 3),N(3,4),P(3, 5)是在此圆上、圆内，还是在圆外？解:设圆心C (a, b),半径长为口则由C为线段P1P2的中点得_3 + 5_ 1 _8+4_厂a二二4, b=6, 22即圆

7、心坐标为C (4, 6).又由两点间的距离公式得r= I CP1 =J (4-3)2 + (6-8)2=5,故所求圆的标准方程为(x-4) 2+ (y-6) 2=5.分别计算点M, N, P到圆心C的距离：ICMl=J (4-5)2 + (6-3)2=105;ICNl=J (4-3/+(64) 2=逐；ICPl=J (4-3)2 + (6-5) 2=25,所以点M在此圆外，点N在此圆上,点P在此圆内.B方法总结点与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较.代数法:直接利用下面的不等式判定：风飞尸+3同”式点在圆外.(x-a)2+(y。-b)?,点在圆上.(x0

8、-a) 2+ (y0-b) 2r2,点在圆内.针对训练写出圆心为4),半径为5的圆的方程,并判断点A(O, 0),B(l,3)与该圆的位置关系.解:该圆的方程为(x-3) 2+ (y-4) 2=25,把A, B两点的坐标分别代入圆的 方程得(0-3) 2+ (0-4) =25, (1-3) 2+ (3-4)2=50).(l-)2 + (-l-b)2 = r2,由已知条件知J2 + (l-b)2 =产，a + b-2 = 0,解此方程组,得卜=1：r2 = 4,故所求圆的标准方程为(-l)2+ (y-l)M.法二 设点C为圆心，因为点C在直线+y-2=0上，所以可设点C的坐标为(a, 2-a).

9、又因为该圆经过A, B两点,所以ICAI = ICBI,所以 J(T)2+ (2f + 1)2=J( + 1)2+ (2-l)2,解得a=l,所以圆心坐标为C (1,1),半径LI CA =2.故所求圆的标准方程为(-l) 2+ (y-D2=4.法三 由已知可得线段AB的中点坐标为(0, 0), kAB=匕W-l,所以弦 -1-1AB的垂直平分线的斜率为k=l,所以AB的垂直平分线的方程为 y-0=l (-0),即y=x,则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点.由 ：； = 0得= 1,即圆心坐标为(1，1)，圆的半径为J(I-I)2+ l-(-l)2=2,故所求圆的标准方程为(x-+(y-

10、1)2=4.&方法总结确定圆的标准方程有两种方法:几何法和待定系数法.(1)几何法:它是利用图形的几何性质，如圆的性质等,直接求出圆的 圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的 标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.)针对训练求经过A(6, 5), B (0,1)两点,并且圆心C在直线L3x+10y+9=0上的圆的标准方程.解:法一(直接法)由题意得AB的中垂线方程为3x+2y-15=0.喔雷宾瑞解需二马则圆心C为(7,-3).圆 C 的半径 r= I CB I= 72 + (-3-1) 2=65.故所求圆的标准方程是

11、(x-7)2+ (y+3) 2=65.法二(待定系数法)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2、2(r0),(6-a)2 + (5-5)2 _ /，则有“(0-Q) 2 + (i-)2 = r2,0),由点P(-1, 1)在圆上可知(-1-2) 2+(1+3) 2,解得 r2=25.故所求圆的标准方程为(x-2) 2+ (y+3)2=25.答案：(-2)2+(y+3)54 .直线1:白勺1与X轴、y轴分别相交于点A, B, 0为坐标原点，则AAOB 4 3内切圆的标准方程为;此圆的面积为.解析：由题意,设AAOB内切圆的圆心为M(叫m) (m0),则半径为m,直线1的方程可化为3x+4y

12、-12=0,由；+；1得水节,由题意得 4 34 3713喟华工叫得m=1或m=6(舍去)，所以AAOB内切圆的方程为 3z+4z(XT) 2+(y-1)2=1,此圆的面积 S= r2= .答案：(x-L)2+(yT)2=l 叁备用例题,例1已知某圆圆心在X轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8, 求该圆的标准方程.解:如图，因为IACl=r=5,IABI=8,所以 IAOl=4.在 RtAOC 中，10Cl=JIACl 2_|/0 I 2=52-42=3.设点 C坐标为(a, 0),则IOCl=Ial=3,所以a=3.所以所求圆的标准方程为(x+3L+y2=25或(-3)2+y2=25.例2写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.(1) (x-2)2+(y-5)2=9;(2)2+y2=256;(3) (x+l)2+(y-2)2=m(m0).解：(1)圆心坐标是5),半径是3.(2)圆心坐标是(0, 0),半径是16.圆心坐标是(-1, 2),半径是标.迎课时作业选题明细表知识点、方法题号圆的标准方程1,3,