五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D9.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(9x+41)4二阶导数。T2：求尸巾二贰5的二阶导数。T3：求尸辞二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(4x+48)的二阶导数。T5：求y=e4x2cos5x25x二阶导数。T6：求y=1n(5-4x2-92)的二阶导数。T8：求y=57+12117x+15的二阶导数。T9：求y=4-12x+46x+51的二阶

2、导数。T10：计算y=2x4-sin7x的二阶导数。了11：求y=cos(2x+13)+9+e的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12:求函数y=x(24-7x)的二阶导数。T13：y=xe6的二阶导数。T14：y=M*15的二阶导数。T15：求y=e-x4的二阶导数。T16：y=sin13x*cos6x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(8x+1Iy),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数Y-OIST18：求产需的二阶导数。XTJ1U26个函数%F商的二阶导数。8xT20：求尸盘的二阶导数。例1：计算丫喋的二阶导数。T22：求y=15x+-的二阶导数。XO五、三角函数二阶

3、偏导数T23：y=sin8x求二阶导数。了24：求函数y=cos9xtan1x的二阶导数。T25：上十皿cos(9x+16),r人D皿求函数y=-的二阶导数。(T26：求z=sin(x4+I1y)的二阶偏导数。T27：求Z=Sinyi2x+7y）的二阶偏导数。5T28：求函数Z=Sin-5y5+e3的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(9x+41)4二阶导数。解：y=(9x+41)y,=4(9x+41)3*9,=36(9x+41)3,yw=36*3(9x+41)2*9,=972(9x+41)2oT2：求y=-282的二阶导数。解：y=72-28x2,*C56x)=28*

4、，72-28x2-56xy=-28*xV772-28x228*72(72-28x2)3T3：求尸小二阶导数y”的计算过程。解：y=e9y,=e9x*9,yff=e9x*9*9=92*e9xoT4：计算y=sin(4x+48)的二阶导数。解：y=sin(4x+48),y,=cos(4x+48)*4,yw=-sin(4x48)*4*4,=-42*sin(4x+48)o二阶导数。T5：求y=e42s5x+25x解：y=e4x2cos5x25xjyf=e4x2cos5x+25x#-4(2xc0s5-2sin5x*5)+25,y,=y4(2xcos5-2sin5x*5)+25,yw=y,4(2xcos5

5、-2sin5x*5)25+4(2cos5-2xsin5x*5-2xsin5x*5-2cos5x*52)y。T6：求y=1n(5-4x2-92)的二阶导数解：y=1n(5-4x2-92),4x4x2-92丫5-42-92，5J4x2-92-4xA42-9?(5x-4x2-92)B，A,B-ABr白yw=-,其中：a，5榨A-即WBj/x卡*(5-舟1),二、函数和差类型二阶导数T7：求y=5x6+23-47的二阶导数。解：y=5x6+23-47,y,=5*6x+23,yw=5*6*5x4=6*52x4oT8：求尸5求+12117x+15的二阶导数。解：y=5x7+12x4-17x+15,y,=3

6、5x6+48x3-17,yw=210x+144x2oT9：求y=112x+46x+51的二阶导数。解：y=x4-12x446x+51,yr=4x3-48x3+46,yw=12x2-144x2oT10：计算y=2x4-sin7x的二阶导数。解：y=2x4-sin7x,y,=8x3-7cos7x,yw=24x2+72sin7xozT11:求y-cos(2x13)+x9+e1的二阶导数过程。解：y=cos(2x+13)+x9+e4,y,=-2sin(2x+13)9x8,yn=-22cos(2x+13)72x7o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(24-7x)的二阶导数。解：法一：y,=24

7、-7xx*(-7)=24-35x,yw=-35o法二：y=x(24-7x)=24x-7x2,y,=24-35x,y1f=-35oT13：y=的二阶导数。解：y=xe6xy,=e6x+xe6x,y6e6x6e6x+62xe6x,=6ex(2+6x)oT14：y=x*15的二阶导数。解：y=x7*15x,y,=7x6*15x+x7*15x*1n15,yw=7(6x*15x+x6*15x*1n15)115(7x6*15x+x7*15x*1n15)oT15：求y=e-(+4的二阶导数。解：y=xe-+4,y=e2+4+xe2+4*(-2x),=e2+4-2e2+4*x2,y=e-2+4*(-2x)-2

8、2+4*x2(-2x)+e2+4*2x,=-2(3-2x2)e2+4*oT16：y=sin13x*cosx,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin13x*cosx,y,=13cos13xcos-sin13xsinx,yM=-132sin13xcosx-13cos13xsinx-13cos13xsin-sin13xcosx,=-(13212)sin13xcos-26cos13xsino法二：y=sin13x*cosx,由积化和差公式有:y=sin14xsin12x,y,=*14cos14x-*12cos12x,yw=*142sin14-*122sin12oT17：Z=XIn(8x+1Iy),求

9、其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有:dz=1n(8x+11y)dx+x8dx+11dy8x11ydz=1n(8x+11y)8x11118x+11ydx+x8x+11ydy,则函数z分别对X的一阶偏导数为:Oz1/c-8x=1n(8x+11y)+8+11y,=xE,继续求二阶偏导数有:z88(8x+11y)-8xx2x+11y+(8x+11y)2-888yx11y+(8x+11y)2;2z112x(8x+11y)2；zVzU2xxyyx8x+11y(8x+11y)2四、函数商类型二阶偏导数T18：求的二阶导数。XTJ1U,x+10-x+25_35y(x+10)2=(x+10)2；70V=-(x

10、+10)3e法二：方程变形为y(x+10)=x-25,两边求导有:y,(x+1O)+y=1,再次求导：y(x+1O)+y,+y,=O,y30)=_2y=2W，v-,2-y,70y-(x+10)2(x+10)326T19：函数y=2-MQ的二阶导数。X-26x+63解：用商求导法则有：112(x2-26x+63)2-2(2-26)2(x2-26x+63)yfa-26x+63)4=-52*(x-26x63)-(2x-26)2(x2-26x+63)3一“3x2+78x+16=52(x2-26x+63)3T20：求尸石/的二阶导数。8x解：法一：y=7，使用商求导法则:J1X18(4+x2)-8x*2

11、xy=W8(4-2)=4+x28(-2x)(4+x2)-(4-2)*2xy=3X(4+x2)-(4-2)X=-16乙,2=1法二：乘积法，此时y(4+x2)=8x,两边求导有:y,(4+x2)+2xy=8,再次求导有：y,(4+x2)+2xy,+2y+2xy,=0,2(2xv，+V)yW=(4x2)-再将y和y代入化简，y,=-32X3(4+x2)2。恒：计算尸3的二阶导数。解：V=sin5xx+18,5cos5x(x+18)-Sir5xA二(x+18)2=B；A,=-52sin5x(x+18)+5cos5x-5cos5x=-52sin5x(x+18),B,=2(x+18),-6sin5x(x

12、+18)(x+18)2-25cos5x(x+18)-sin5x(x+18)y=(x+18)4二(x+18)3T22：求y=15x+-的二阶导数。XOX解：y=15x+rn2x(x2-3)-2(x2+3)V二西P34(x2-3)2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sin%求二阶导数。-5%is5x(x+18)(x+18)-25cos5x(x+18)-Sin5x解：y=sin8x,求复合函数求导法则有:y,=8sin7x*cosx;y=8(7sin6xcos2-sin7xsinx),=8sin6x(7cos2x-sin2x)oT24：求函数y=cos9xtanx的二阶导数。解：y=cos9xta

13、nx,求函数乘积求导法则有：y,=-9sin9xtanx+cos9xsec2x;y,=-9(9cos9xtanx+sin9xsec2x)+(-9sin9xsec2x+2cos9xsec2xtanx),=-92cos9xtan-18sin9xsec2x+2cos9xsec2xtano4c八十期cos(9x+16),”人D业.T25：求函数尸的二阶导数。X有cos(9x+16)上7上匕斗七解：y=,求函数商求导法则有：1-9sin(9x+16)-cos(9x+16)y=;9sin(9x+16)x+cos(9x+16)A=5=X2B,ArB-AB1一y=不一,其中：A,=92cos(9x+16)x+9sin(9x+16)-9sin(9x+16)=92cos(9x+16)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：92cos(9x+16)x*x2-2x9sin(9x+16)x+cos(9x+16),92cos(9x+16)x2-29sin(9x+16)x+cos(9x+16)x3(T26：求z=sin(x4+11y)的二阶偏导数。解：Z=Sin(X4+11y),由全微分求导有：dz=cos(x4+11y)(4x3dx+11dy),=4x3cos(x4+11y),=11cos(x4+11y)继续求二阶偏导数有:3x2cos(x4+11y)-4x3sin(