五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D10.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(2x+7”二阶导数。T2：求y=炉孤？的二阶导数。T3：求y4x二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(14x+33)的二阶导数。T5：求y=e7x2cos8x57x二阶导数。T6：求y=1n(9-j7x2-62)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=22+44-31的二阶导数。T8：求y=15x6+x

2、3-30x64的二阶导数。T9：求y=x-15x5+5x+15的二阶导数。T10：计算y=6x-sin5x的二阶导数。T11：求y=cos(8x+17)+x+e?的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(6-54x)的二阶导数。T13：y=xe的二阶导数。T14：y=x%9的二阶导数。T15：求y=xe5+9的二阶导数。T16：y=sin1Ox*cosx,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(14x+22y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数-49T18：求尸洋的二阶导数。XTj1乙32T19：函数尸2二Q的二阶导数。X-7x31T20：求尸指1的二阶导数。乙

3、yA.例1：计算丫母的二阶导数。YT22：求y=x+的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数T23：y=sin4x求二阶导数。了24：求函数y=cos7xtan4x的二阶导数。T25：上十皿cos(12x+14),r人D切求函数y=-的二阶导数。(T26：求z=sin(x2+30y)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin7(7x+34y)的二阶偏导数。5T28：求函数Z=SinjXV+e的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(2x+7)4二阶导数。解：y=(2x+7)4,y,=4(2x+7)3*2,=8(2x+7)3,yn=8*3(2x+7)2*2,=48(2x+7)2oT2：求y

4、32-202的二阶导数。解：j=32-20x2,t11y232-20x211*(32-20x2)f,-232-20x2*(-40x)32-20x2-y=-20*1-40xY#-I=232-20232-20x220*32一(32-20x2)3T3：求尸小二阶导数y”的计算过程。解：y=e。y,=e4x*4,yff=e4x*4*4=42*e4xoT4：计算y=sin(14x+33)的二阶导数。解：y=sin(14x+33),y,=cos(14x+33)*14,yw=-sin(14x33)*14*14,=-142*sin(14x+33)oyf=e7x2cos8x+57x#-7(2c0s8-2sin8

5、x*8)+57,y,=y7(2xcos8-2sin8x*8)+57,yw=y,7(2xcos8-2sin8x*8)+57+7(2cos8-2xsin8x*8-2xsin8x*8-2cos8x*82)y。T6：求y=1n(9-7x2-62)的二阶导数解：y=1n(9-7x2-62),7x9-7-62，97x2-62-7x7x2-62(9x-7x2-62)B，A,B-ABr白yw=-,其中：A，.严7P6,77B，二372-62(9x-72-6?)7x2-62*(9-p=j),=7，：软+”/72-62-2*7o二、函数和差类型二阶导数T7：求y=22+44-31的二阶导数。解：y=2x2+44x

6、-31,y,=2*2x+44,yw=4oT8：求y=15x6+x3-30x+64的二阶导数。解:y=15x6+x3-30x+64,yr=90x5+3x2-30,yw=450x4+6oT9：求y=x5-15x5+5x+15的二阶导数。解：y=x5-15x+5x+15,y,=5x4-75x4+5,yw=20x3-300x3oT10：计算y=6x-sin5x的二阶导数。解：y=6x-sin5x,y,=30x4-5cos5x,y1,=120x352sin5xoT11：求y=cos(8x+17)+x+e的二阶导数过程。解：y=cos(8x+17)+x11+e2,y,=-8sin(8x+17)+11x10

7、,yn=-82cos(8x+17)+110x9o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(6-54x)的二阶导数。解：法一：y,=6-54xx*(-54)=6-61x,y=-61o法二：y=x(6-54x)=6-54x2,y,=6-61x,y1f=-61oT13：y=的二阶导数。解：y=xe6xy,=e6x+xe6x,y6e6x6e6x+62xe6x,=6ex(2+6x)oT14：y=6*9的二阶导数。解：y=x6*9x,y,=6x5*9x+x6*9x*1n9,y=6(5x4*9x+x5*9x*1n9)+1n9(6x5*9x+x6*9x*1n9)oT15：求y=xeT+9钮-x59解：y-

8、xe,的二阶导数。yr=e5+9xe5+9=e5+9-5e5+9*(-5x4),*5,ye-5931cV4)一5e-5+9*x5(-5x4)e5+9*5x4,=-5(6-5x5)e5+9*x4oT16：y=sin10x*cos28x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin10x*cos28x,y,=10cos10xcos28-28sin10xsin28x,yw=-102sin10xcos28-280cos10xsin28-280cos10xsin28-282sin10xcos28x,=-(102282)sin10xcos28-560cos10xsin28o法二：y=sin10x*cos28x

9、,由积化和差公式有：y=sin38x+sin(-18x),y,=-*38cos38x+-*(-18)cos(-18x),乙乙yw=-*382sin38-*182sin(-18x)o乙乙T17：Z=XIn(14x+22y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：jICC、14dx+22dydz=1n(14x22y)dx+x14+22y14x22dz=1n(14x+22y)+1y1,qqdx+xqqdy,14x+22y14x22y则函数z分别对X的一阶偏导数为：=1n(14x+22y)+J%/oxq十乙乙y*x康行,继续求二阶偏导数有：z_1414(14x+22y)-14xx214x+22y+(

10、14x+22y)2_14308y=14x+22y+(14x+22y)25d2z_222x(14x+22y)2；zVz22OXxyyx14x+22y(14x+22y)2四、函数商类型二阶偏导数-49T18：求尸洋的二阶导数。XTJ1乙,x+12-+4961y(x+12)2=(x+12)2；122V=(+12)g法二：方程变形为y(x+12)=x-49,两边求导有:y,(x+12)+y=1,再次求导：y11(x+12)+y,+y,=0,y32)=2y,=2悬V-21-y-122y-2(x+12)1(x+12)332个函数巴三沟的二阶导数。32解：y=v2-7v用商求导法则有:X/XWI2-7y，=

11、32*(x2-7x+31)2；2(x2-7x+31)2-2(2x-7)2(x2-7x+31)y=-32*a-7x+31)4=-64*(x2-7x+31)-(2-7)2(x2-7x+31)3T20：求尸指1的二阶导数。23x解：法一：y=9Q+，使用商求导法则:乙,23(29+2)-23x*2xy=29+x223(29-x2)29+x2；“23(-2x)(29+x)-(29-2)*2xV=(29，jx(29+x2)-(29-x2)x二一46(29+x2)2，=-92(29：)2法二：乘积法，此时y(29+2)=23x,两边求导有:y,(29+x2)+2xy=23,再次求导有：yM(29+x2)+

12、2xy+2y+2xy,=0,2(2xv,+v)yw=-(292)再将V和y代入化简,X3y,92(29+x2)2恒：计算尸3的二阶导数。6cos6x(x+18)-sin6xA,一一(x+18)A,=-62sin6x(x+18)+6cos6x-6cos6x=-62sin6x(x+18),B,=2(x+18),-62sin6x(x+18)(x+18)2-26cos6x(x+18)-sin6x(x+18)f1_(x+18)4-62sin6x(x+18)(x+18)-26cos6x(x+18)-sin6x(x+18)3YT22：求y=x+g区的二阶导数。解：y=x+2，2x(x/T2)-2x(2+12

13、)V=!-124(x2-12)2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sinx求二阶导数。解：y=sin4x,求复合函数求导法则有:y,=4sin3x*cosx;yn=4(3sin2xcos2-sin3xsinx),=4sin2x(3cos2-sin2x)oT24：求函数y=cos7xtan4x的二阶导数。解：y=cos7xtan4x,求函数乘积求导法则有：y,=-7sin7xtan4x+4cos7xsec24x;y,=-7(7cos7xtan4x+4sin7xsec24x)+4(-7sin7xsec24x+8cos7xsec24xtan4x),=-72cos7xtan4x_56sin7xsec24x+32cos7xsec24xtan4o例5：求函数/O*+的二阶导数。T2sin(12x+14)X-COS(12x+14)=；12sin(12x+14)x+cos(12x+14)A=B;A,B-AB,一y=M,其中：A,=122cos(12x+14)x+12sin(12x+14)-12sin(12x+14)=122cos(12x+14)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：122cos(12x14)x*x2-2x12sin(12x+14)x+cos(12x+14)