五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D6.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(7x+21)4二阶导数。T2：求y=82-182的二阶导数。T3：求y7x二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(12x+41)的二阶导数。T5：e_2x2cos5xx求y=e二阶导数。T6：求y=1n(9-jx2-82)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=3+13-2的二阶导数。T8：求y=4x9+

2、19x4-20x+4的二阶导数。T9：求y=x3-8x2+38x+42的二阶导数。T10：计算y=3x5-sin7x的二阶导数。T11：求y=cos(5x+1)+8+e的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(70-84x)的二阶导数。T13：y=xex的二阶导数。T14：y=x%7的二阶导数。T15：求y=e-x4的二阶导数。T16：y=sin19x*cos2x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(21x+2y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数T18：求y=鬻的二阶导数。37T19：函数y一2工的二阶导数。X-3x+4T20：求尸石1的二阶导数。乙丁XG

3、in7x交1计算尸近的二阶导数。了22：求尸23x+U的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数T23：y=sin5x求二阶导数。了24：求函数y=cos7xtan5x的二阶导数。T25：上十皿cos(5x+14),r人D皿求函数y=一-的二阶导数。T26：求Z=Sin(X+22y)的二阶偏导数。zTt27:求z-sin3(9x+34y)的二阶偏导数。个28：求函数Z=Si-6yb+e7的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(7x+21)4二阶导数。解：y=(7x+21)4,y,=4(7x+21)3*7,=28(7x21)3,yw=28*3(7x+21)2*7,=588(7x21

4、)2oT2：求y=82-182的二阶导数。解：y=82-18x2,y=*(8T8uM1(T6x)=18*8，82-18x2-:-36xyw=-18*82-18x21882=(82-18x2)3T3：求y=ex二阶导数y”的计算过程。解：y=e7y,=e7x*7,yw=e77*7=72*e7T4：计算y=sin(12x+41)的二阶导数。解：y=sin(12x+41),y,=cos(12x+41)*12,yw=-sin(12x+41)*12*12,=-122*sin(12x+41)oT5：2x2cos5x+xe二阶导数。解：y=e2x2cos5xxyr=e2xcs5x+x*2(2xcos5-2s

5、in5x*5)+1,y,=y2(2xcos5-2sin5x*5)+1,yw=y,2(2xcos5-2sin5x*5)+1+2(2cos5-2xsin5x*5-2xsin5x*5-2cos5x*52)y。T6：求y=1n(9x-6x2-82)的二阶导数解：y=1n(9-x2-82),9JX丫一9x-6x2-82，96x2-82-6xAJ6x2-82(9x-6x2-82)B，y=A,B-ABf白:评一,其中：9*6点*倔0）鼻（9飞号）,二、函数和差类型二阶导数T7：求y=33+13-2的二阶导数。解：y=3x3+13x-2,y,=3*3x2+13,yw=3*3*2x1=2*32x1oT8：求y=

6、4x9+19x4-20x+4的二阶导数。解：y=4x9+19x4-20x+4,y,=36x8+76x3-20,yw=288x7+228x2oT9：求y=x3-8x2+38x+42的二阶导数。解：y=x3-8x2+38x+42,y,=3x2-16x+38,yw=6-16oT10：计算y=3x5-sin7x的二阶导数。解：y=3x5-sin7x,y,=15x4-7cos7x,yrr=60x3+72sin7oT11：求y=cos(5x+1)+x+e的二阶导数过程。解：y=cos(5x+1)+x8+e5,y,=-5sin(5x+1)+8x7,y=-52cos(5x+1)56x6o三、函数乘积类型二阶导

7、数T12：求函数y=x(70-84x)的二阶导数。解：法一:y,=70-84x+x*(-84)=70-96x,y=-96o法二：y=x(70-84x)=70-84x2,y,=70-96x,y1f=-96oT13：y=e的二阶导数。解：y=xe7xy,=e7x+7xe7x,yw=7e7x+7e7x+72xe7x,=7e7x(2+7x)oT14：y=x%7的二阶导数。解：y=x5*7x,y,=5x4*7x+x5*7x*1n7,y=5(4x3*7x+x4*71n7)+1n7(5x4*7x+x5*7x*1n7)oT15：求y=er3+4的二阶导数。解：y=xe-+4,y=e-3+4+xe-3+4*(-

8、32),=e3+4-3e3+4*x3,y=e-34*(-3x2)-3e3+4*x3(-3x2)+e3+4*3x2,=-3(4-3x3)e3+4*x2oT16：y=sin19x*cos31x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin19x*cos31x,y,=19cos19xcos31-31sin19xsin31x,yw=-192sin19xcos31-589cos19xsin31-589cos19xsin31-312sin19xcos31x,=-(192+312)sin19xcos31-1178cos19xsin31xo法二：y=sin19x*cos31x,由积化和差公式有：y=sin50x+

9、sin(-12x),乙乙y,zz*50cos50x+-*(-12)cos(-12x),乙乙yw=-*502sin50-*122sin(-12x)o乙乙T17：Z=XIn(21x+2y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1IFc、121dx+2dydz=1n(21x2y)dx+x91.9v,乙1.x十乙y2i2dz=In(21x+2y)+*药dx+x*药dy，则函数Z分别对X的一阶偏导数为：z1c21x=1n(21x+2y)+21+2y,A72新X点7继续求二阶偏导数有：z_2121(21x+2y)-21xOx?二21x+2y+(21x+2y)22142y=21x+2y+(21x+2y)

10、2;d2z_22x(21x+2y)2；zVz23xxyyx21x+2y(21x+2y)2四、函数商类型二阶偏导数T18：求尸鬻的二阶导数。,x+16x+8096y(x+16)2=(x+16)2；192V1x+。法二：方程变形为y(x+16)=x-80,两边求导有:y,(x+16)+y=1,再次求导：yn(x+16)+y,+y,=0,y36)=2y,=2悬V-2Ir-192y-2(x+16)1(x+16)337个函数巴万有的二阶导数。37解：yg4,用商求导法则有:XOX2-3y，=37*(x2-3x+4)2；,2(x2-3x+4)2-2(2-3)2(x2-3x+4)yH而而=-74*(x2-3

11、x+4)-(2x-3)(x2-3x+4)391YT20：求尸会的二阶导数。21x解：法一：y=zt9,2,使用商求导法则:q乙丁Xf21(42+x2)-21x*2xy=42h?21(42-2)二42+2.21(-2x)(42+2)-(42-2)*2xy=(42+x2)2(42+x2)-(42-2)X二一42(42+x2)2法二：乘积法，此时y(42+2)=21x,两边求导有:y(42+2)+2xy=21,再次求导有：yM(42+x2)+2xy+2y+2xy,=0,2(2xv,+v)yw=-(422)再将V和y代入化简,X3y,-4(42+x2)2恒：计算yr的二阶导数。7cos7X(x+2)-

12、sin7xA,一一.(+2)A,=-72sin7x(x+2)+7cos7-7cos7x=-72sin7x(x+2),B,=2(x+2),-72sin7x(x+2)(x+2)2-27cos7x(x+2)-sin7x(x+2)一_(+2)4-72sin7x(x+2)(x+2)-27cos7x(x+2)-sin7x(+2)3T22：求y=23x+-的二阶导数。X-11X解：y=23+-，2x(x/T1)-2x(2+11)V=Snir3-114(x2-iD2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sin%求二阶导数。解：y=sin5x,求复合函数求导法则有：y,=5sin4x*cosx;yn=5(4sin

13、3xcos2-sin4xsinx),=5sin3x(4cos2x-sin2x)oT24：求函数y=cos7xtan5x的二阶导数。解：y=cos7xtan5x,求函数乘积求导法则有：y,=-7sin7xtan5x+5cos7xsec25;y,=-7(7cos7xtan5x+5sin7xsec25x)+5(-7sin7xsec25x+10cos7xsec25xtan5x),=-72cos7xtan5-70sin7xsec25x+50cos7xsec25xtan5x4c八十期cos(5x+14),”人D业.T25：求函数尸的二阶导数。X解：y=cos(5x+14)求函数商求导法则有：-5sin(5

14、x+14)-cos(5x+14)y=；5sin(5x+14)x+cos(5x+14)A=5=X2B，ArB-AB1一y=不一,其中：A,=52cos(5x+14)x+5sin(5x+14)-5sin(5x+14)=52cos(5x+14)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：52cos(5x+14)x*x2-2x5sin(5x+14)x+cos(5x+14),52cos(5x+14)x2-25sin(5x+14)x+cos(5x+14)=?T26：求Z=Sin(X%22y)的二阶偏导数。解：z=sin(x5+22y),由全微分求导有:dz=cos(x+22y)(5x4dx+22dy),=5x4cos(x5+22y),=22cos(x