五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D2.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(7x+20)4二阶导数。T2：求尸存而的二阶导数。T3：求尸辞二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(9x9)的二阶导数。T5：求y=e7x2cos6x57x二阶导数。T6：求y=1n(4-4x2-52)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=13x5+14-43的二阶导数。T8：求y=7x6+24x8-

2、52x+53的二阶导数。T9：求y=x4-11x4+9x+20的二阶导数。T10：计算y=9x6-sin7x的二阶导数。T11：求y=cos(8x+13)+6+e的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(12-5x)的二阶导数。T13：y=xex的二阶导数。T14：y=8*2,的二阶导数。个15：求y=e-x*14的二阶导数。T16：y=sin3x*cos65x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(15x18y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数T18：求尸篇的二阶导数。x+9129T19：函数尸2(q的二阶导数。X-6x+13了20：求尸百的二阶导数。s1

3、2x于21：计算尸的二阶导数。#22：求y=27x+e的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数T23：y=sin4x求二阶导数。中24：求函数y=cos8xtan10x的二阶导数。T25：求函数y芈丁的二阶导数。T26：求Z=Sin(X3+2Oy)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin6(6x+12y)的二阶偏导数。5T28：求函数Z=Sin-X2y2+e的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(7x+20)4二阶导数。解:y=(7x+20)4,y,=4(7x+20)3*7,=28(7x20)3,yw=28*3(7x+20)2*7,=588(7x20)2oT2：求尸归丞的二阶导数。解

4、：y=y32-10x2,y,*32-10x2r*C20x)=10*r，32-10x2-20xyff=-10*Y#-I=2FIoP32-10x21032=V（32-10x2）3T3：求尸小二阶导数y”的计算过程。解：y=e9y,=e9x*9,yff=e9x*9*9=92*e9xoT4：计算y=sin(9x9)的二阶导数。解：y=sin(9x+9),y,=Cos(9x+9)*9,yw=-sin(9x9)*9*9,=-92*sin(9x+9)oyf=e7x2cos6x+57x#-7(2c0s6-2sin6x*6)+57,y,=y7(2xcos6-2sin6x*6)+57,yw=y,7(2xcos6-

5、2sin6x*6)+57+7(2cos6-2xsin6x*6-2xsin6x*6-2cos6x*62)y。T6：求y=1n(4x-4x2-52)的二阶导数解：y=1n(4x-4x2-52),4x一,42-52丫4-42-52,4J4x2-52-4xAj4-52(4-4x2-52)B，A,B-ABr白yw=-,其中：A-中WB=4x)*(4-,二、函数和差类型二阶导数T7：求y=13x5+14-43的二阶导数。解：y=13x5+14-43,y,=13*5x4+14,yw=13*5*4x3=65*22x3oT8：求y=7x6+24x8-52x+53的二阶导数。解：y=7x6+24x8-52x+53

6、,yr=42x5192x7-52,yw=210x4+1344x6oT9：求y=x4-11x4+9x+20的二阶导数。解：y=x4-11x4+9x+20,yr=4x3-44x3+9,yw=12x2-132x2oT10：计算y=9x6-sin7x的二阶导数。解：y=9x6-sin7x,y,=54x-7cos7x,yw=270x472sin7xoT11：求y-cos(8x13)+x6+e3的二阶导数过程。解：y=cos(8x+13)+x6+e3,y,=-8sin(8x+13)+6x5,yn=-82cos(8x+13)+30x4o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(12-5x)的二阶导数。解

7、：法一：y,=12-5xx*(-5)=12-99x,y=-99o法二：y=x(12-5x)-12x-5x2,y,=12-99x,y”=-99。T13：y=e的二阶导数。解：y=xe7xy,=e7x+7xe7x,yw=7e7x+7e7x+72xe7x,=7e7x(2+7x)oT14：y=8*2的二阶导数。解：y=x8*2x,y,=8x7*2x+x8*2x*1n2,y=8(7x6*2x+x7*2x*1n2)+1n2(8x7*2x+x8*2x*1n2)oT15：求y=xer6+的二阶导数。解：y=xe6+14,y-=e-6+14+xe6+14*(-6x5),=e6+14-6e6+14*x6,y=e-

8、x6+14s1e(-6x5)-6e-6+14*6(-6x5)+e6+14*6x5,=-6(7-6x6)e6+14*x5oT16：y=sin3x讴%，继续求二阶偏导数有：Vz1515(15x+18y)-15xx215x+18y+(15x+18y)2cos6x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin3x*cos6x,y,=3cos3xcos6-6sin3xsin6x,yw=-32sin3xcos6-18cos3xsin6-18cos3xsin6-62sin3xcos6x,=-(3262)sin3xcos6-36cos3xsin6o法二：y=sin3x*cos6x,由积化和差公式有：y=sin9x

9、+sin(-3x),y,=*9cos9x+*(-3)cos(-3x),乙乙yw=-*92sin9-*(-3)2sin(-3x)o乙乙T17：Z=X1n(15x+18y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1_S-15dx+18dydz=1n(15x+18y)dx+x、匚,15x+18y5x18dz=1n(15x+18y)+.iqdx+x,1Qdy,15x+18y15x+18y则函数z分别对X的一阶偏导数为：Oz1/T1TC15x=1n(15x+18y)+15+18y-_15270y=15x+18y+(15x+18y)2;d2z_182x(15x+18y)2；-zVz18_IXxyyx15

10、x+18y(15x+18y)2四、函数商类型二阶偏导数vQT18：求尸篇的二阶导数。A.v/X解：法：y*,x91-x+899y=(x+91)2=(x+91)2;198V=(+91)3法二：方程变形为y(x+91)=x-8,两边求导有:y,(x+91)+y=1,再次求导：y(x+91)+y,+y,=0,y”(x+91)=-2y2悬,29个函数丫口市的二阶导数。29解：y，用商求导法则有:XOXIOy=29*(x-6x+13)2；2(x2-6x+13)2-2(2-6)2(x2-6x+13)y=-29*许奇=-58*(x2-6x+13)-(2-6)2(x2-6x+13)328T20：求尸爵的二阶导

11、数。oo-tX28解：法一：y=oo,2,使用商求导法则:OOX,28(38+2)-28x*2xy=38+x228(38-x2)二38+/.28(-2x)(38+2)-(38-W)*2xy=(38+x2)2zx(38+x2)-(38-x2)x=T6法二：乘积法，此时y(38+2)=28x,两边求导有:y,(38+x2)+2xy=28,再次求导有：yM(38+x2)+2xy+2y+2xy,=0,2(2xv,+v)yw=-(38x2)再将V和y代入化简,y112。恒：计算尸卞的二阶导数。,2cos2x(x+6)-Sin2xA=(x+6)2而；A,=-22sin2x(x+6)+2cos2x-2cos

12、2x=-22sin2x(x+6),B,=2(x+6),-22sin2x(x+6)(x+6)2-22cos2x(x+6)-sin2x(x+6)一_(+6)4-22sin2x(x+6)(x+6)-22cos2x(x+6)-sin2x(+6)322：求y=27x+急的二阶导数。X解：y=27Ei,2x(x2-38)-2x(x2+38)(x2-38)五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sinx求二阶导数。解：y=sin4x,求复合函数求导法则有:y,=4sin3x*cosx;yn=4(3sin2xcos2-sin3xsinx),=4sin2x(3cos2-sin2x)oT24：求函数y=cos8xta

13、n10x的二阶导数。解：y=cos8xtan10x,求函数乘积求导法则有：y,=-8sin8xtan1x+10cos8xsec210x;y,=-8(8cos8xtan10x1Osin8xsec210x)+10(-8sin8xsec210x+20cos8xsec210xtan10x),=-82cos8xtan10x_160sin8xsec210x+200cos8xsec21Oxtan1Oxo4c上十期cos(5x+20),”人D业.T25：求函数尸的二阶导数。X有cos(5x+20)上7上匕斗七解：y=,求函数商求导法则有：1-5sin(5x+20)-cos(5x+20)y=;5sin(5x+2

14、0)x+cos(5x+20)A=5=X2B，ArB-AB1一y=不一,其中：A,=52cos(5x+20)x+5sin(5x+20)-5sin(5x+20)=52cos(5x+20)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：52cos(5x+20)x*x2-2x5sin(5x+20)x+cos(5x+20),52cos(5x+20)x2-25sin(5x+20)x+cos(5x+20)x3T26：求Z=Sin(X42Oy)的二阶偏导数。解:z=sin(x3+20y),由全微分求导有;dz=cos(x3+20y)(3x2dx+20dy),zqz.-=3xcos(x+20y),=20COS(x+20y);oxoy继续求二阶偏导数有：