第十三章轴对称.docx

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1、第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题泸县二中外国语实验学校王胜聪【教材分析】教知识技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.学过程在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化目方法标思想.情感态度通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【教学流程】环节导学问题师生活动设计意图情境引入如图所示，从力地到夕地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？F前面我们研究过一

2、些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。通过复习旧知引出“两点之间，线段最短”模型，为引出新课和探究新知作铺垫。自主探究探究点一探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？公赖零

3、BI-教师出示问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.创设问题情境，体验丰富的悠久的数学历史文化，感受数学源于生活。让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：将生活问题抽象转化为数学问题。精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答:将45两地抽象为两个点,将河I抽象为一条直线.B追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：（1）从A地出发，到河边/饮马，然后到B地；（2

4、）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线I上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点。在/的什么位置时,AC与CB的和最小（如图）.问题2：如图，点A,B在直线/的同侧，点C是直线上的一个动点，当点。在/的什么位置时，AC与C的和最小？追问3：对于问题2,如何将点5“移”到/的另一侧B处,满足直线I上的任意一点C,都保持CB与C8的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点方吗？展示点评：作法：（1）作点B关于直线I的对称

5、点Bf;（2）连接A8,与直线I交于点C.则点C即为所求.追问5、你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正，迁移转化，将新知转化为旧知。教师引导学生通过合作交流完成证明；学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决：证明AC+BC最短时，为什么要在直线1上任取一点（与点。不重合），师生共总结方法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.利用三角形的三边关系，若直线1上任意一点（与点C不重合）与46两点的距离和都大于力。+6。,就说明力。+BC最小.C的代表的是除点。以外直线/

6、上的任意一点.7，证明：如图，在直线/上任取一点C（与点C不重合），连接AC,BC,BC.由轴对称的性质知，BC=BCBCf=B,Cf.：.AC+BC=AC+BfC=ABf,AC,+BC=ACf+BfCf.在AAQC中，ABfACf+BfC,：.AC+BCAC+BC.即AC+BC最短.体验数学问题的发现由猜想到验证的过程,体现数学的严密性。尝试应用1如图，直线1是一条河，P、Q是两个村庄.欲在1上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）教师出示问题学以致用，培养学生的迁移的能力和应用数学的能力。C1,D2.如图，牧童在A处放

7、马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.学生先自主思考，后小组交流,最后展示答案，师生共同评价：答案：1、D；2、1000；3、A4、答案如图所示：A小B*；TpC，01ABF2题图3题图3.如图，在AABC中，AB=3,AC=4EF垂直平分BC.点P为直线EF上的任一点，则APBP的最小值是（）A.4B.5C.6D.74、如图所示，M、N是AABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P,使APMN的周长最小。B*CP点就是所求做的点成果展示本节课你有什么收获？学习了利用轴对称解决最短路径问题感悟和体会转化的思想师引导学生归纳总结.梳理知识，并建立知识体系.帮助学生回顾建立知识体系。作业设计作业：教材第91页复习题13第15题.学生认定作业，独立完成巩固练习，优化分层，提升能力。