第06讲 三极值点问题（老师版）.docx

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1、第06讲三极值点问题参考答案与试题解析解答题(共10小题)1. (2023秋襄城区校级月考)已知函数/(X)=由二或(其中I为常数).Inx(1)当=1时，对于任意大于1的实数1,恒有/(x).成立，求实数上的取值范围;(2)当OVaV1时，设函数/(x)的3个极值点为再，x2,x3,且XIV尤21时，f(x).k,即解-1)?-左历.0成立,令g(x)=(xI)2-k1nx,贝!g,x)-，Xx1,2x2-2x=2x(x-1)0E0,g(%)0,.g(%)在(1,+8)上是增函数,1+J1+2左2.%1时，g(x)g(1)=0,满足题意;左0时，令g(x)=0,解得x1=2及Q,2/.%(1

2、,x2),F(X)0，g(x)在(1X2)上是减函数，.%(1,%2),g(%)g(1)=0，不合题意，舍去,综上可得，k,0；(xa)Q1vcH1)(2)由题，/(X)=，InX对于函数z(%)=2历x+31,有(%)=与%.函数/I(X)在(0二)上单调递减，在(,+00)上单调递增22函数/(x)有3个极值点x1x2x3,从而htnin(x)=(B=2历W+1。，所以p，当OVQVI时，h(a)=2baJ-)二O=OgfM=构造函数/(X)=g(x)g(j2-X),则只需要证明x(0,3单调递减即可.2而方(x)=2nx+2历(X)+2,F,x)O,./00在(0,上单调递增，.9(x)

3、p2. (2023市中区校级模拟)已知函数/(%)=加质-,且函数/(x)在X=I处取到极值.(1)求曲线y=(%)在(1,/(1)处的切线方程；(2)若函数g(x)=S-(Om1),且函数g(%)有3个极值点再，%,x3(x1x2.22【解答】解：(1)于(X)=Cdrvcx,f,(x)=-1,X函数/(%)在尤=1处取到极值,Af,(1)=41=0,即4=1.则/()=Ihjc-X,f(1)二一1,.曲线y=(%)在(1,f(1)处的切线方程为y=-1；(2)=根0,2e2.(x)在(1,2)内存在零点,设z(Xo)=O,.,.xQm,当，(%)0时，即Ovxv机，或x/,函数单调递增，当

4、，(%)0时，即机x/,函数单调递减，.当X=机时，函数有极大值,二.当OV机V1时，X=m是/(x)极大值点;力()是z(x)的最小值；g(x)有三个极值点X142V，/z(T)=2历g+10,得m.2当0相时，z(m)=21nm0,h(1)=m-10,即芯，x3是函数(冗)的两个零点.21nx1+1=01,消去租得2xi1nxi-x1=Ix3Inx3X3；I1nx2+1=0令(Q=Zdnx-X,(%)=2nx+1,夕，(X)的零点为X=,1-g,即证玉+项j，等价于证明电j-%，即e(&)X).O(X)=O(X3)，即证0(%1)9构造函数/(X)=0()-0(一X),则=0；X).只要证

5、明在(0,3上方(%)单调递减,函数0(%)在(0,单调递减;.9(x)一夕(一尸-x)在(0,-=上是减函数.&22时，jv1Jv3即(Je-)4,pxZ7Y23.(2023台州一模)已知函数/(x)=1+x(1)若Q=O,讨论/(X)的单调性.(2)若/(x)有三个极值点再，x2,X3求，的取值范围;TdE:%+%2+%2.【解答】解：(1)当Q=O时，f()=，x-191+x当/(%)o时，X在(o,y)上，/(%)单调递增,(2)./(x)=11+x-(x2)(1+x)2首先尸(O)=O,令g(x)=e-(x+2),则g(x)=0应有两个既不等于0也不等于-1的根,求导可得，gx)=e

6、x-a,此时，g(x)=ex-Q=O有唯一的根XO=Ina,并且与是g(x)的极小值点，要使g(x)=。有两根，只要g()0即可，(因为当x+oo和x-S时，g(x)=ex-ax+2)+)由gQ)=en-a(1na+2)=-a(1na+1)工，0e又由g(O)wO,得wg,反过来，若且“,时，贝Jg(-1)=!-0,g(x)=O的两根中，一个大于一1,另一个小于一1,e2e于是在定义域中，连同x=0,r(x)=0共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，T(X)的正负变号，它们就是/(%)的三个极值点，综上，4的取值范围是(1g)Q(g,+00)；证明由可知/(X)有三个极值点%,元3中，两个是

7、g(%)=。的两根(不妨设为石，其中玉2.只要证：X+%2，即只要证明1-x22，因为g(x)在(x),1na)上单调递减，其中Ina1,故只要证g()vg(-2-9)，其中ga)=g(%2)=。，只要证gO)g(-2-%)，而eQ(X2+2)e2巧_(2x2+2只要证*-12-&-2(x2+1)0,由g(%)=*q(%+2)=0,得=-J,由此代入上述不等式，只要证明2,用匚(+1)1时，hf(x)=(x+1)ex-(x+1)e-x-2=(x+1)(ex-e-x-2)O,(x)单调递增，而久1)=0,所以当X-1时，h(x)0,于是证x2ex2+(X2+2)ex220,即：x1+x2+x3-

8、2.324.(2023辽阳二模)已知函数/(x)=(x2)e+0(-).(1)讨论/(x)的极值点的个数；(2)若/(%)有3个极值点石，x2,x3(其中石%2V)，证明：x2【解答】(1)解:f,(x)=(x-1)ex+a(x2-x)=(x-1)(ex+ax),令g()=C,g，(X)=(XT,故g(x)在(M)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,XX在(Yo,0)上单调递减，且当x0时，g(x)0时，/(X)有2个极值点，当-凝1O时，/(X)只有1个极值点，当-e时，/(x)有3个极值点.(2)证明：因为/(x)有3个极值点x1,x2,x3(其中药A2)，所以=一a%,ex3=一&且=

9、1，即得e=Q,X1X3要证X1X3X；,即X1X31,即需证明/1=历万十一O.t因为IIKf)=：_J=_/：一I二一(：D20恒成立,所以/z)在(1,+)上是单调递减函数，则有zQ)MD=历1-1+；=0,即力=/一+10成立，所以XIX31，即XIX3得以证明5.(2023春兴义市校级月考)已知函数/(x)=.1nx(/)求函数/(x)在区间加，e上的最值；()若g(x)=/(x)+也竺(其中m为常数)，且当O加工时，设函数g(x)的3个极值点为a，b，c，Iwc2Kab1,ex3x1=k,所以W一%=历左，所以要证1,只需署三1,则有(/成)2T)：,即Inkc?-1，贝IJ需证明

10、/成一亚+34&,：.函数/(x)的最大值为/,最小值为2e；r)n(x-2m)(21nx+1)gfM=nInXz(x)=2x+-1,hx)=2xm,XX可以得到函数Kx)在(0,m)上单调递减，在(m,+)上单调递增；因为函数g(x)的3个极值点,又hx)min=h(ni)=21nm+10,h(2ni)=21n2m0,h(1)=2m-10,从而函数g(x)的三个极值点中，有一个为2根，有一个小于根，有一个大于1,因为3个极值点为a,b,c,且avZ?vc,所以Vm2m=V1VC，所以2q2根=，故02abICc,函数g(x)在(OM)上单调递减，在Mb)上单调递增，在3,1)上单调递减，在(1,C)上单调递减，在(Gy)上单调递增.6. (2023潍坊一模)函数/(x)=(x-Q)2(x+Z?)eX(Q,R).(1)当=0,=3时.求函数/(X)的单调区间；(2)若x=是/(x)的极大值点.当=0时，求的取值范围；)当为定值时.设%，x2,&(其中X)是/(%)的3个极值点，问：是否存在实数，可找到实数乙，使得%，%，W成等差数列？若存在求出的值及相应的乙，若不存在.说明理由.【解答】解：(1)=0,Z?=3时：f(x)=X2(x-3)ex,f,(x)=ex