空间几何复习题（含答案解析）(1).docx

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1、则：a(o,o),M(0,1,2),a(Ao,4),D(O,-1,0)N,-,2I22)取AB中点尸，连接。尸，则尸四边形ABCD为菱形且ZBAD=60fi4Q为等边三角形/.DF1AB又A4i_1平面ABCD,U平面ABCD.,.DF1AA1：.DF平面ABB1A1,即DF1平面AMA1.O分为平面AMA的一个法向量，且。尸二:y,j,0I22J设平面MAN的法向量A=(x,y,z),又VA=(8,12),MN=y,-j,0.n=1-1)nMAi=y3x-y+2z=0J33,令X=百，贝IJy=1,z=-in.MN=-xV=O22.八厂DFF3y15、斤斤.cosDF,n=-1i=WnF、一

2、DFn155sm-二面角A-响-N的正弦值为：平【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.20.（1）证明见解析；（2）叵.10【分析】（1）由M,N分别为5C,BC的中点，MN/CC1,根据条件可得AA/B用，可证MNAA,要证平面与Cz，平面AAMN,只需证明EF1平面A4即可；（2）连接NP,先求证四边形ONR4是平行四边形，根据几何关系求得EP,在耳。截取BxQ=EP,由（1）BC1平面AAMN,可得NQTW为耳石与平面AAMN所成角，即可求得答

3、案.【详解】（1）M,N分别为BC,耳。的中点，.MNHBBi,又AAJ1BB，MNHAAi,在，ASC中，”为BC中点，贝5C,又侧面5片GC为矩形，.BCBB1,MN/BB1,MN1BC,由TWCAM=,肱V,AMu平面AAMN,.,.JBC1平面AAMTV,又Ba/BC,且BIGa平面ABC,5Cu平面ABC,.5G平面ABC,又4。1匚平面瓦。逮，且平面5CzC平面ABC=EF.B1C1HEF,.EFBC,又5C_1平面AA跖V,EFU平面EBICIF,.平面EB1C1F1平面AiAMN.方法一：几何法如图，过。作用的平行线分别交A4,AG于点片，联结A4,A0,AK,NP,由于A。/

4、平面EBIG尸，耳耳平面石耳方，AonE1K=0,AoU平面A&M，&匚平面4片，所以平面Ag耳/平面EB1G厂.又因平面平面AA用5=44，平面与CzC平面的与5=耳，所以E旦A&.因为用G_1AN,B1C1.1MN,AN-MN=N,所以与G，面AvW.又因用耳耳G，所以4月，面AVW,所以Ag与平面AA1NM所成的角为N为40.22令AB=2,则N3=1,由于。为AABC的中心，OEi=-NB1=-.2在M,AE0中，AO=AB=2,OEi=-,由勾股定理得AE1=JAo2+OEj=半.所以SinZE1AO=型=叵.1AE110由于石耳AE1,直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值也为叵

5、.10方法二【最优解】：几何法因为AO/平面瓦。与，平面MG片1平面AMMIi=N尸，所以AONP.因为。NAP,所以四边形OAPN为平行四边形.由（I）知石F1平面AMNA,则石尸为平面AMNA的垂线.所以B1E在平面AMNA1的射影为NP.从而B1E与NP所成角的正弦值即为所求.在梯形EFC1与中，设EF=1,过E作EG_1BiG，垂足为G,则尸N=EG=3.在直角三角形AEiG中，SinNBG=巫.1010方法三：向量法由（I）知，与G，平面4AMN,则4G为平面AAMN的法向量.因为AO平面瓦CH,AO三平面AA跖V,且平面AAMNC平面与。逮=PN,所以AO/PN.由（I）知A41M

6、N,A41=MN,即四边形APNO为平行四边形，则Ao=NP=AB.因为。为正AA4G的中心，故AP=ON=3AAf.由面面平行的性质得跖gG，跖=；与。1，所以四边形口G与为等腰梯形.由P,N为等腰梯形两底的中点，得PN1BCI,贝PNBC=0,EB=EP+PN+NB=13EBB1C1冈阿一)G+PN-JBG=PN623设直线B1E与平面A1AMN所成角为夕，AB=，贝Usin0=所以直线利与平面9MN所成角的正弦值零方法四：基底法不妨设AO=AB=AC=2,则在直角一AA0中，招=孚以向量A41,AB,AC为基底,从而(a4pab)=(,(AA,A0=(,(ab,ac)=.EB1=EA+A

7、41+4bi=ab+MBC=AC-AB，贝忡卜考,IBCI=2.(222-24所以石耳5C=yA5+A41J(AC-A5)=qA5AC-qA5=；由(I)知BC1平面AAMN,所以向量BC为平面AAMN的法向量.设直线2避与平面AAMN所成角，则Sine=MS(E瓦,80卜氤=噜故直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为Sin。=巫.10方法五:坐标法过O过底面ABC的垂线，垂足为。，以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,设/OAM=/AO=AB=I,2Sine,A(0,-2cos6,0),b(1,3-2cos9,o)所以AE=gag=,y,0,E,-2cos0,O所以4EI=Ig,2cos。,2Sine)易得。=(1,0,0)为平面AiAMN的一个法向量,【整体点评】（2）方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.方法五：空间坐标系法是立体几何的重要方法，它是平面向量的延伸，其关键之处在于利用空间坐标系确定位置，找到平面的法向量和直线的方向向量.