华东师大版八年级上册 13.3 等腰三角形（2） 讲义（无答案）.docx

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1、等腰三角形21、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题1 .等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：1说明：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定方法.等腰三角形的判定和性质互逆；判定定理在同一个三角形中才能适用.2 .等边三角形的性质(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的_三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在

2、等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于.等边三角形是轴对称图形，它有一对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.3 .等边三角形的判定与性质(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了根底，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全

3、等的小等边三角形等.(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，假设从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；假设从等腰三角形出发，那么想法获取一个60。的角判定.4 .含30度角的直角三角形(1)含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的_.(2)此结论是由等边三角形的性质推出，表达了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.(3)注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30)的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准30的角所对的直角边，点明

4、斜边.参考答案：1. 等边对等角2. (1)等腰；(2)60三条3. (1)三线合一4. (1)一半1 .等腰三角形的判定.【例1】如下图的正方形网格中，网格线的交点称为格点.A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得4ABC为等腰三角形，那么点C的个数是()A.6B.7C.8D.9【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰4ABC底边；AB为等腰AABC其中的一条腰.解：如上图：分情况讨论.AB为等腰AABC底边时，符合条件的C点有4个；AB为等腰4ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.应选：C.练1如图，在AABC中,AB=AC,ZA=360,BD,CE分别为NABC,

5、NACB的角平分线，那么图中等腰三角形共有（）A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】由条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得.解：设CE与BD的交点为点O,.AB=AC,ZA=360,.,.ZABC=ZACb,再根据三角形内角和定理知，NABC=NACb=竺2_36=72。,2-BD是NABC的角的平分线,JNABD=NDBCjNABC=36。=ZA,2AAD=BD,同理,ZA=ZACE=ZBCE=36o,AE=CE,.ZDBC=36o,ZACB=72o,根据三角形内角和定理知，NBDC=180-72-36=72

6、,ABD=BC,同理CE=BC,VZB0C=180o-36-36=108,.ZODC=ZDOC=ZOEB=ZEOB=72,ABC,DB,AEC,BEO,COD,BCE,BDC,aBOC都是等腰三角形，共8个.应选D.练2.如图，在RtZiABC中，NACB=90,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得aPAB为等腰三角形，那么符合条件的点P共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【解析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）“分三种情况解答即可.解：如图，AB的垂直平分线交AC一点PJPA=PB）,交直线BC于点P2

7、；以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3,巳，交BC有一点P2,（此时AB=AP）；以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5F,交AC有一点P6（此时BP=BA）.2+（3-1）+（3-1）=6,，符合条件的点有六个.应选C.2.等腰三角形的判定；坐标与图形性质.【例2】如图，坐标平面内一点A2,-1）,0为原点，P是X轴上的一个动点，如果以点P、0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A.2B.3C.4D.5【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：OA为等腰三角形底边；OA为等腰三角形一条腰.解：如上图：OOA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一

8、个；OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个.综上所述，符合条件的点P的个数共4个.应选C.总结：此题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.练3.在平面直角坐标系XOy中，点P(2,2),点Q在y轴上，APQO是等腰三角形，那么满足条件的点Q共有()A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案.解：如上图：满足条件的点Q共有(0,2)0,22)(0,-22)(0,4).应选B.3.等边三角形的性质；三角形的外角性质；

9、全等三角形的判定与性质.【例3】如下图，在等边AABC中，点D、E分别在边BC、AB,且BD=AE,AD与CE交于点F,那么NDFC的度数为()A.60oB.45oC.40oD.30【解析】因为AABC为等边三角形，所以NBAoNABC=NBCA=60,AB=BC=AC,根据SAS易证ABDg4CAE,那么NBAD=NACE,再根据三角形内角和定理求得NDFC的度数.解：ZXABC为等边三角形.*.NBAC=NABC=NBCA=60/.AB=BC=AC在AABD和ACAE中BD=AE,ZABd=ZCAE,AB=AC.,.ABDCAE.ZBAD=ZACe又ZBD+ZDAC=ZBAC=60oZAC

10、E+ZDAC=60o.,ZACE+ZDAC+ZAFC=180ZAFC=120o/ZAFC+ZDFC=180o.,.ZDFC=60o.应选A.练4.如图，过边长为1的等边AABC的边AB上一点P,作PE_1AC于E,Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,那么DE的长为()A.1B.1C.2D.不能确定323【解析】过P作BC的平行线，交AC于M；那么aAPM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得APMDgZXQCD,那么DM=CD;此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解.解：过P作PMBC,交AC于M；AB

11、C是等边三角形，且PMBC,APM是等边三角形;又.PEJAM,文ae=em=2am;（等边三角形三线合一）2VPMCQ,ZPMD=ZQCd,ZMPD=ZQ;XVPA=PM=CQ,在ZkPMD和ZkQCD中PMDQCD（AAS）;.,.CD=DM=IcM;2/.DE=DM+ME=1（AM+MC）=1aC=1,应选B.2224.等边三角形的判定与性质.【例4】如图，CD是RtaABC斜边AB上的高，将aBCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，那么NA等于（）A.25oB.30oC.45oD.60【解析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=

12、AE=BE,进而可判断出ABEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论.解：AABC沿CD折叠B与E重合，那么BC=CE,YE为AB中点，ZXABC是直角三角形，ACE=BE=AE,BEC是等边三角形.,.ZB=60o,.,.ZA=30o,应选：B.练5.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20的方向行驶40海里到达C地，那么A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里【解析】由可得aABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离.解：由题意得ZABC=60,AB=BCABC是等边三角形AC=AB

13、=40海里.应选B.5.平移的性质；等边三角形的性质.【例5】如图，将边长为2个单位的等边AABC沿边BC向右平移1个单位得到aDEF,那么四边形ABFD的周长为（）A.6B.8C.10D.12【解析】根据平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等计算出四边形ABFD各边的长度.解：AC与DF是对应边，AC=2,那么DF=2,向右平移一个单位，那么AD=I,BF=3,故其周长为2+1+2+3=8.应选B.总结：根据平移的性质，找出对应边，求出四边形各边的长度，相加即可.练6.下列图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2c

14、m时，这个六边形的周长为（）cm.A.30B.40C.50D.60【解析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为X,那么等边三角形的边长依次为X,x+x+2,x+2,x+2X2,x+2X2,x+32.所以六边形周长是2x+2(x+2)+2(x+22)+(x+32)=7x+18,而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x,那么可求得周长.解：设AB=X,，等边三角形的边长依次为X,x+x+2,x+2,x+22,x+22,x+32,，六边形周长是2x+2(x+2)+2(x+22)+(x+32)=7x+18,VAF=2AB,即x+6=2

15、x,x=6cm,二周长为7x+18=60cm.应选D总结：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系.1 .如图，一个六边形的6个内角都是120,其连续四边的长依次是1、9、9、5,那么这个六边形的周长是_cm.2 .在AABC中,AB=AC,高线AD=JiBC,AE为NBAC的平分线，那么NCAD的度数为23 .如图，AABC中,AB=AC,假设BC=CD=DE=EF=FA,那么NA=.4 .如图，AABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证：ZABEgZCAD;(2)求NBFD的度数.5 .如图，D是等边aABC的边AB上的一