2.同构公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、第2讲.函数同构函数同构问题是当下的一个热门问题，2023,2023,的导数问题就可以从同构角度构造X成立.同构问题常见于指对混合函数的X成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强.当然这类指对混合函数的X成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是提升观察与思维能力.-基本原理解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为结构，/(“即为外层函数，其XXXXX研究.常见变形方式：x=+1n=三=3内一x+1nx=1n(xex)；Inx=InC.答题思路；1 .直接变形：积型：aeabnbaeanbnbf(x)=xex(同左)；=，1ne71nb=(X)=XInX(同右)

2、；=+1nInZ?+In(Inb)=/(x)=x+1nx(取对数).说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.Pa7Panbx(2)商型：=(同左)；a1na1nXCabXn1-1nv1nIn(InZ?)=/(x)=X-InX(取对数).(3)和差型：eaabinbeaaejnb1nbf(x)=exx(同左)；=1n6zb+nbf(x)=xnx(同右),2 .先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以X,同加上X等，再用上述方式变形,常见的有：aeaxInXnaxeaxx1nx；exan(ax-a)-a-exIna(x-1)-1ex1

3、na-na1n(x-1)-1=ex1na+x-InaIn(X-1)+x-1=*(%)+皿-1)xIogax=exinan(Jdna)exh1ax1nxInax+x-1nx(%)-Inx-1nx=/(x)=x-1nxexexexxa+1exIn%nxexnX/-anxeainx=/(x)=xex二.典例分析例1(2023全国甲卷)(公众号：凌晨讲数学)已知函数/(%)=-InX+1-.X(I)若/(x)0,求的取值范围；(2)证明：若/()有两个零点可，x2,则可1exexexex,(Y-Dex解析：(1)f(x)=1nx+x-a=一+Ina,令t=一,贝U=，于是XXXXXte.于是/(x)O

4、等价于y=t+nt-ate上恒成立，故(-,e+1.(2)由(1)知要使得有/Q)两个零点，贝!.(x)mi11=/=e+1vne+1v加)。加)exne+xex+x=(e+1)x,又XXXJ_111函数y=xex在(M)单减，.xexe=-xex1e1.:.ex+xxex-1O(x)(1nx-x+1)2(X-1-exi+1)n2(，T-(X1)一1)a(x-Inx-1)即：2(T(x1)1)(e-Inx1),因为11nx,当且仅当X=I时等号成立，构造g(x)=靖-1容易得：g(x)O,所以只需要满足12.例3.已知函数/(x)=1nH+x+1,其中0.(1)当=1时，求/(%)的最小值；(

5、2)讨论方程e+edIn(QX)I-5=()根的个数.解析：(1)7(%)的最小值是1)=2.(2)由题e+e=+1,0,贝!x+e+e=d1n(4x)+x+工，即d11!,+/+?-=6i1n()+ax+-.所以/(e)=/(0r).由/(x)=a1nx+-,得axX下,C11_12Ia_U,(、C11C11X2f(X)=F17=A-.当OVjVVI时，f(X)=F17-5-XXXXXXX当x1时，/(力，+1一二，+。0；所以，4X)在(U)上递减；在(1+8)上递增.JVJVJVJV又因为/(x)=p,所以/(1)=/(),当且仅当I=QX或e=1.又e1,故e%=xXyC1X和e=,不

6、可能同时成立.所以方程根e+e4山3)卜=。的个数是两函数ax11axS(X)=3-融和MX)=XeX-：的零点个数之和，其中O当Sa)=O时，函数d-依的零点个数转换为直线工，与函数MX)=图象的交点个数，二1-：),令(x)=0,即(：声=0,解得X=1XX当易知OV尤VI时，”(x)1时，(x)0,MX)单调递增;MX)在X=I处取得最小值为M1)=；=e,所以Oe时，直线丁=，与函数MX)图象有2个交点函数，S(X)有2个零点.同理：函数，(X)=XeX-5的零点个数转化为直线与函数y=xe工图象交点个数,设y=xe,xO,贝!y=(x+1)ex,所以函数y=xe在(0,+“)单调递增

7、，y=xexx=O处的函数值为Oe=O,所以故心。时，%)在(O,+)上必有1个零点.综上所述，Oe时，方程有3个根.例3.(2023全国新高考1卷)已知函数/(%)=e*-QX和g(x)=ar-1nx有相同的最小值.(1)求Q；(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.解析：(2)由(1)可得，/(x)的最小值在=O处取到，g(x)的最小值在X=I处取到，且最小值均为1于是，/(x)在(OJ)上增，g(x)在(OJ)上减，则存在(。,1)，使得J(X2)=g()1.这样的话，令=J(X2)=g(),且直线J=

8、6与两条曲线y=f(x)和y=g()共有三个不同的交点.(公众号：凌晨讲数学)另一方面，注意到/(X)=靖x=1n靖，考虑函数g=%1n%,则/(%)=g(e)设直线j=与两条曲线y=/(X)和y=g()从左到右的三个交点横坐标为x1,x2,X3.且有X10%21%由上述讨论可知：/(%2)=g(2)=g(%3)，故-2=%3，同理，由/(1)=/(1nx2)可得：X1=InX2又因为e?-x2=x2-Inx22x2=+山马联立，可得：2%=芯+%，即从左到右的三个交点横坐标成等差数列.三.习题演练1 .若0%Inx2-Inx1B.eX1-exInx2-Inx1C.x2exx1ex2D.x2e

9、xInx2-Inx1ex2-Inx2e*-InXI,设/(x)=ex-Inx、1px1.,./(X)=ex=,设g(x)=x/-1,则有g(x)=(x+1)e%0恒成立，所以g(x)在(M)单调递增，所以g(o)=1v,g=310,从而存在XO(0,1),使得g(%)=0,由单调性可判断出：(O9X0),g(x)O/(x)Of(x)O,所以f(%)在(0,1)不单调，不等式不会恒成立B选项：eX1-*i2In%IOe+Inx1ex2+Inx2,设X)=ex+Inx可知/()单调递增.所以应该/(xj%12,构造函数“(x-1ex/(%)=，/(X)=-9则/(x)Vo在x(0,1)恒成立。所以

10、/(x)在(0,1)单调递减，所以/(七)/(%2)成立D选项：%12/对x(1,+)1成立，则实巍的最小值为()exA.-yjB.C.eD.-2e2解析：,.X+61InjvHxa,.*.X-xaIn%=xaInxa.1xa1xa,.X.X.XXix构造函数/(x)=x1nx./,/(x)v=e)XX/(x)(,1),(1,+)当%1时,0=1与1的大小不定，但当实数Z最小时,只需考虑其为负数的情e况，止匕时0z1而当Ox1时，/(x)单调递减，故工%,两边取对数得一xexInx令g()=一广,贝咽(%)=?：+1=小庵(1，e)上T,(e,+)J:.g(x)g(e)=-eInxInX故的最小值是-e.