级数复习试题解析原级数条件收敛.docx

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1、(I) qn 5一21 _1_解：因为limp= lim二孽=g所以原级数发散.n 5-2 55n(2)解：因为limn6n/= lim 7n-6n 7n 1 .二 WO且%5收敛，由比较判别法的极限形式知，原级数收敛.(3) n=l52 4n sin33，解：lim = lim(l+-)5 = 1.由比值判别法知,n 333 35=收敛.ri5j12riV n sm V人3n由比较判别法知，原级数收敛.(4)2、U+1J解：lim n (n v2n n4nl7）亶品书由根值判别法知,原级数解：因为limnn(n+l)/- = limn士=1 WO且25发教,n由比较判别法的极限形式知,原级数

2、发散.= lim- = 0l,由比值判n九十1(6)展初. R 斗 1 I (-l)n+1 / (-10)n解因为A则下所/丁别法，=iT （绝对）收敛./ V 四、判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散: （-rli=）j解：limny8乙九二15笔/害= *lim方= gl)9 则/ (%)=-9)且lim 半=limoo yJX oo = 0令an = *,则（1）%瑶=9单调递减；（2）7lim = O由莱布尼茨判别法知，原级数收敛.综上所述，原级数条件收敛.(10)黑】上詈r-+r-i+解：(I)当p0 时，lim J。0,故级数发 7171散.当0 p 1时，方单调递减且叫煮=

3、0,故由莱布尼茨判别法知，1笔敛.又流 =心发散，故211时，总弓收敛，故说 =1匕沪绝对收敛.J Lf V五、求下列嘉级数的收敛域及和函数:(II) (2h + 1)xw二0解：当工。0时，因为lim蜉+：； = |%|. (2+l)xn I当%1时，原级数发散.当 = 1时，级数2连o(2n + l)发散；当 = -1时，级数工1(1严(2九+ D发散.故塞级数(2n + 1)%九的收敛域为(-Ll).当(-1)时，和函数 1 1+%H=l-x (l-x)2S(%) = =0(2n + 1)”=2% = nxn-1 + =1X2%(r=H) + = 2%(y + = U8(12)y=0 +

4、1解：当时，因为limxn+2(2)xn+1(nl)| = %当%1时，原级数发散.当 = 1时，级数2W发散；当 = 1时，级数黑o(T)rW收敛vn+l故募级数r=o岛的收敛域为vn+i当-l,l)时,令和函数s()=2r=o三，则I V T JLs(%) = r=o%=占，从 而 s(%) - s(0) = jd% =ln(l x),即s(%) = - ln(l - %).六、证明题(13)设20,且级数片收敛，证明级数尸黑当l时绝对收敛.证明：j(+)又当l时，N收敛.因为*0,Hlimnn = Z0,证明级数2/.九解：级数r=%l是正项级数且lim 粤=limn = Z 0. 1n=1nn 1/，n由正项级数比较判别法的极限形式知，级数r=M与有相同的敛散性.因为r=J发散，故r=M发散.15.设r=n是收敛的正项级数，证明级数SL1E(1 +%l）收敛证明：因为r=%l是收敛的正项级数，故limn = O,且级n数鼠1 in（l + %l）是正项级数.因为lkng3=l,所以由比较判别法的极限形式知，级n un数221伍（1 + 1）收敛.