泰勒公式在极限运算中的研究探讨.docx
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1、泰勒公式在极限运算中的研究探讨曾鹏李志青【摘要】泰勒公式是微积分理论的重要内容,本文首先应用泰勒展开式推导出函数代数和的等价无穷小,其次探索了函数代数和的等价无穷小在求极限上的应用,最后通过研究生入学考试试题给出了具体的应用与解题技巧.【关键词】泰勒公式;等价无穷小;极限【基金项目】本文系广东省青年创新人才项目.(项目编号:2022KQNCX132)极限是高等数学中的重要概念,高等数学中的很多概念都是用极限语言定义的,如:函数的连续性,导数,定积分,等等.极限是一种很重要的思想,实际生活中很多没办法量化的问题,如不规则图形的面积、周长等都可以通过求极限来解决.在学习高等数学的过程当中,有关于极
2、限的计算一直是我们学习的重点以及难点,主要是由于极限的题目灵活多变,方法也多种多样,如定义法,零因子消去法,无穷大量约去法,洛必达法则等.当然,对于一些复杂的题目,在短时间内解决有一定的难度,并且对于不同的题目,如果选择的方法不恰当,也会导致题目解不出来.对于一些复杂题型的极限计算,我们发现利用泰勒公式计算过程简便,并且不容易出错.因而我们有必要探讨泰勒公式在函数极限运算中的一些研究.泰勒公式是微积分理论的重要内容,主要的思想就是用简单的多项式近似表达较复杂的函数,在解决函数极限、不等式.近似计算等方面有着广泛的应用,解决了用微分计算函数值或函数增量精确度不高的问题,也为我们提供了一种误差的估
3、计公式,并实现了对误差的一种有效控制,本文着重应用泰勒展开式推导出函数代数和的等价无穷小,从而探索出等价无穷小代换往往不适用于函数的代数和求极限的本质,并通过多年教学经验和考研数学的研究,总结了泰勒公式在极限应用方面的一些解题技巧.一、一道例题引发的思考例 1 求 limx0tan-sinxsin3x错解当f 0时,tanxx, sinxx因此原式二1 imf Ox - xx3=l imx00x3=0.籍误原因是等价无穷小量代换求极限只适用于乘除法运算,不适用于加减法运算.下面我们用一般方法来求上例极限.正解当 f 时,l-cosx12x2, sinxx Iimx0tan-sinxsi3x=l
4、imx0sinxlcos-lsin3x=limx01-cosxsin2xcosx=limx012x2x2cosx=12.在课堂上,我们常常给学生们强调等价无穷小量代换求极限问题只适用于加减法,并不适用于乘除法运算,可能很多同学不太明白其中的原理.下面我们用泰勒展开式来寻找其根源.在学习泰勒公式之前,我们先来了解下它产生的背景.在学习微分的时候,我们已经学习过一个近似公式:f (x) (x) +f, (x)(-),此时,我们可以把函数f (x)用一次函数去逼近,但是为了提高精度,可以利用洛必达法则和二阶导数的定义,可以把上面的一次函数修正为二次函数去逼近,即f(x)f(x)f, (x)(-)+1
5、2! f (x) (-) 2,以此类推,我们就可以得到n阶泰勒多项式了.总的来说,泰勒展开其实就是用简单的多项式来近似表示在x邻域内的函数,并且如果要提高精度,那么展开的项数也要增多.定理泰勒公式设函数f (x)在区间(a, b)上n+1阶连续可导,且x (a, b),则对任意的x (a, b)有:f (x) =f (x) f, (x) (-) +12! f (x) (-) 2ln!f (n) (x) (-) nRn (x)其中,Rn (x) =fn+l (n+1) ! (-)n+1,这里介于x和x之间.当上面xO=O时.我们得到泰勒公式的一个特殊情况,称之为麦克劳林公式:f (x) =f (
6、0) +f, (0) x+12! f (0) x2+ln! f (n) (0) xno(xn).定理2B与是等价无穷小的充分必要条件是 = +o ( a )证必要性设 a B , lim - a a =lim a -1=0, /. - a =o (a ),即 = a +o ( a ).充分性设 = a +o ( a ), lim a =lim a +o ( a ) a =1+1 imo (a )a 二1, . a .如果f (x)和g (x)为f 0时的无穷小量,那么f (x) +g (x)也为一个无穷小,因此,由定理2可以知道,我们需要找到f (x)+ g (x)的等价无穷小函数h (x),
7、使得f (x) +g (x) =h (x) +o(X),这时泰勒展开式就为我们提供了寻找h(X)的方法.如例1,我们可以给出一种简洁的方法:由于 tanx=x+x33+o(x3), sinx=-33! +o(x3),则 tan-sinx=12x3+o(x3),即 tan-sinx12x3x0,贝! limx-0tan-sinxsin3x=lim-012x3x3= 12.那么例1错解的原因在哪呢?我们发现主要是因为tanx=xo (x),sinx=x+o (x),从而 tan-sinx=0+o (x).换句话说,这时的 h (x)=0,这显然是不合适的.也就是说,我们需要利用泰勒展开公式找到一个
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