(完整版)《微积分》各章习题及详细答案.docx

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1、第一章函数极限与连续一、填空题1、已知/(Sin5)=1+cosx,则/(COSX)=。0r(4+3x)22、IimY-=.%qox(1-x)3、x-0时，tanx-sinx是X的阶无穷小。4、IimfSin1=O成立的左为.%o%5、Iimexarctanx=.x-fx.U1XQ6、/(x)=在X=O处连续，则/?=.x+b,x+1)(M+2-V)=。n+二、选择题1、设/(x),g(x)是-/,/上的偶函数，(x)是-/,/上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。(A)fx+gx);(B)/(x)+z(x);(C)/(x)g(x)+z(x);(D)/(x)g(x)/Z(X)O2、()=1W,

2、，(x)=1安，则当x1时有o1 +%(A)是比P高阶的无穷小；(B)是比/低阶的无穷小；(C)与是同阶无穷小；(D)a0.J1+x-1n3、函数/(%)=拓GZPxUEND在X=。处连续，则左=OkX=O32(A)-;(B)-;(C)1;(D)Oo234、数列极限IimmIn(久一1)-Inm=.n(A)1;(B)-1;(C);(D)不存在但非x+XO1XCOS-Xx05、/(%)=0(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点。(B)f(x)=x,g(x)=;6、以下各项中/(x)和g(x)相同的是(A)/(x)=Igx2,g(x)=21gx;,g(x)=xyx-1；

3、(D)/(x)=1,g(x)=sec2x-tan2xo9、/(x)在/的某一去心邻域内有界是Iim/(x)存在的(A)充分必要条件；(B)10、Iimx(X2+1-x)=(x%o充分条件；(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件。(2)设X110,J1xn+1-Jaxn(zz=1,2,),证明Iimz存在，并求此极限值。vnx_n-x5、讨论函数/(x)=Iim1的连续性，若有间断点，指出其类型。jqx+nx6、设/(%)在加上连续，且Q(x)0.sin，为有界函数，所以要使IimJSin,=0,只要Iim/=0,即左0。XXfoX%一5、0oIimexarctanx=0Xf-(.Iimex

4、x-6、b=2o,/Iim/(X)=Iim(X+/?)=Z?,;Iim/(X)=Iim(e*+1)=2,%(x0-tO+x0+f(O)=b,.b=2._I1.1n(3x+1)1,3x17、 ,.Iim=Iim=o2。6x%06x28、 1x2Iim(+6+1)(J+2-V)=Iim(G+”已?y”3(i+2+i)2(1+J1+-)二、选择题1、选(D)令方(X)=/(x)g(x)/Z(X),由/(x),g(x)是-/,/上的偶函数，力是-/,/上的奇函数,F(-x)=f(-x)g(-x)h(-x)=-f(x)g(x)h(x)=-F(x).o、主r(%)r1一%r1x2、选(C),.Iim=Ii

5、m1=-Iim/1%0(x)%(1+X)(I-Vx)%7(1+x)1-0-(i-)1X3=Iim=-(利用教材P58(1+x)-1ax)(1+力；(IT)21h_1Xq3、选(A).Iim/(x)=Iim1-=Iim=(利用教材P58(1+x)-1-。X)%.O%.O+X1%.O12一X34、选(B)1im1n(-1)-Inn=Iim-1n(1-)n=-1nmK5、选(C)/(0-)=1,/(0+)=0,/(0)=06、选(C)在(A)中.(x)=1n/的定义域为7,o,而g(%)=21nx的定义域为x0,./(x)g(x)故不正确在(B)./(X)=X的值域为(-,+),g(x)=的值域为X

6、0,故错在(D)中=/(x)=1的定义域为R,g(x)=sec?tanx的定义域为殷,(x)g(x),故错1、/、1.sinx1.sinx11.SinX1.SinX17、选(D),.Iim=Iim=I,Iim=-Iim=-IXO+IX|XO+XXOIX|XOX(1)8、选(D)1ima%)%=1im1+(1)Tx0x09、选(C)由函数极限的局部有界性定理知，Iimf(x)存在，则必有为的某一去心邻域使/(%)有界，而f(x)在X0的某一去心邻域有界不一定有Iim于(X)存在，例如IimSin1函数-1VSin1V1有界,但在X=O点极%0x0XX限不存在10、选(C)(IimX(JX2+_+

7、)=Iimx(xX)UX+1+%)=1im,XiXfgx2+1+xx2+1+x11=Iim=%8121+111、选(D)(A)、(B)显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当儿充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。(C)也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。x2-1XX12、选(D)Iim-e%=1im(x+1)e%=20=0rx1r2-1X-Iimex(1-a)x2-a+b)x+(1-Z7)1Iim二%mx+12=Iim(X+1)e%=X1+X1%1+当X1时函数没有极限，也不是00。三、计算解答1、计算下列极限：(1)解：1im2sin

8、二=Iim2U=2x0n2E21COS%2z开1.escXcotX1.SinXSinX1CoSX1.91(2)解：Iim=1im_srnx_=1m=-ox0Xx0Xx0Xsin%o%2-1(3)解：IimX(-1)=IimX=1。XXJQ?O1X1(4)解：Iim(P=Iim(1+)3=1im(1+-)223ox2x-1x2x-1x1X2IJ1-=1im(1+-)231im(1+-)23=e3xM1xM1XX、力8cos2x-2cosx-1(2cosx-1)(4cosx+1)(5)解：Iim=IimX2cosX+COSX-1x(2CoSX1)(COSX+1)33Iimx-34cosx+14-+

9、12cos%+1(6)解:1.y1+xsmx-cos1.1+%sinx-cos%Iim-Iim/.二/%oxtanxx0tan%(1+%sin%+cos%)xsnx+1-cosx1.XSmXI-CoSX=Iim=Iim-+Iim%一。2x22x2%-。2x2Iim(J1+)sin%+Jcos%)=2x0(7)解：1im+-+-%81223n(j+1)=T+(+T)=1im(1-)=1o%8+1铲r1(1+V)rVnrf1J(8)解：Iim/=Iim/=Iim(YarctaV4-x2%*4-x22+xV4x2+1ax?(a+bx2+13、解：,.Iim(ax-b)=Iim+X+一(a+/?)=；naa设=左时，xka,则xk+i=yaxk=Q数列%有下界,再证匕单调减,Z+1