题型41 有关圆幂定理型压轴题.docx

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1、题型41有关圆暴定理型压轴题【方法点拨】1 .相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P,贝1PApB=PCPD.2 .切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB.PS为割线，则PT?=paPB（）;3 .割线定理：如下右图，PAB,Ps为圆O的割线，则PAPB=PCPD.说明：上述三个定理可以统一为PAPB=Y72-火2（其中H是半径），统称为圆氟定理.【典型题示例】例1如图，在平面直角坐标系Xoy中，已知点41,0）,点P是圆。Y+2=4上的任意一点，过点6（1，）作直线BT垂直于AP,垂足为7,贝12B4+3PT的最小值是【答案】62【分析】从题中已知寻求玄、Pr间

2、的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆赛定理.【解法一】由中线长公式可得60=,，2（242+必2）/。2,贝IpA2+pg2=IO3PAPB八PA2+PB2-AB2cosP=2PAPB3在RtAPBT中,PT=PBcosP,即PT=PA91J-3后所以2PA+3P=2PA+218=62(当且仅当=时取等)PA2【解法二】*：BTAP,.点T的轨迹是圆，其方程是：%2+/=1,过点P作该圆的切线PcC为切点、,贝IJPe二由，由切割线定理得：PC?=PAPT=3,132所以2PA+3PT=2PA+218=62(当且仅当尸A=时取等).PA2点评：解法二中，先运用定直

3、线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.例2在平面直角坐标系Xoy中，已知。Cx2+(y-1)2=5,A为。Cr与元负半轴的交点,过A作。的弦AB,记线段AB的中点为若OA=(W,则直线AB的斜率为.【答案】2【分析】看到“弦的中点想到作弦心距”，得至4CM1AB,故NCMA+N49C=180。，所以A、0、CM四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出SinA即可.【解析】连结CM,则CN1AB,在四边形AOCM中，ZCMA+ZAOC=180o,故A、0

4、、CM四点共圆，且AC为直径.x2+(y-1)2=5中，令产0,得x=2,A(-2,O),AC=即为44W外接圆的直径,在44W中，由正弦定理得：=5,而OA=OM=2,SinA2所以SinA=而，所以tanA=2.故直线AB的斜率为2.例3在平面直角坐标系x0y中，过点M（1o）的直线/与圆/十丁=5交于AJB两点，其中A点在第一象限，且9=2M4,则直线/的方程为.【答案】y=-1【分析】本题思路有下列几种：利用向量坐标设点转化，点参法；设直线方程的在X轴上的截距式，联立方程组；垂径定理后二次解三角形；相交弦定理；利用“爪”21型结构,得OM+两边平方求得NAOB的余弦值.【解法一】：易知

5、直线/的斜率必存在，设直线/的方程为y=%（-1）.由BW=2MA,设5M=2%,MA=t.如图，过原点0作OH上I于点H,则BH=.设OH=d,在RtOBH中,解+仔=，=5.在Rt中，d2+（2=OM2=1,解得解=,p1则/=F+=,解得Z=I或左=一1.因为点A在第一象限，BM=2MA,由图知k=1,所以所求的直线/的方程为y=x-1.由相交弦定理得2=（、后1）（、后+1）,解之得=J5过原点。作OH_U于点H,在RtAOBH中，/+仔=r2=5,解得d2=/,（下同解法一，略）.【解法三】设A(X1,%),5(X2,竺)，则BW=(IX2,-J2),MA=(x1-1fy1).因为B

6、M=2MA,所以1-X2=2(%i-1),一2=2y.当直线AB的斜率不存在时，BM=MA,不符合题意.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=Z(-1),U2k联立y=网11),+y2=5,%+”=中得(1+右)产+26一42=0,则42*yf=791-y2=2y,_2k61+F，8贷42_4卜所以yrm=.+.)2=+),即2=1.又点A在第一象限,片不甲所以Z=I,即直线AB的方程为y=x1.【解法四】设Aa1,Ji),B(X2,2),则BW=(I一兄2,2),MA=(x1,y).一一11_冗2=2(%11),-=2x-3,因为5M=2MA,所以即一2=2y,一2=2%.又XHM=

7、5,+凫=5,m+=5,A代人可得919解得x=2,代入可得以=土1.又点A在(2xi-3)2+4=5,第一象限，故A(2,1),由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y=-1.点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1 .在平面直角坐标系Xoy中，M是直线x=3上的动点，以M为圆心的圆M,若圆M截X轴所得的弦长恒为4,过点。作圆M的一条切线，切点、为P,则点P到直线2x+y10=0距离的最大值为.2 .在平面直角坐标系xy中，圆C:(%m)2+y2=r2(m0).已知过原点O且相互垂直的两条直线/1和/2,其中/1与圆C相交于A,5两点，/2与圆。相切于点。.若AB=O

8、D,则直线/i的斜率为.3 .在平面直角坐标系Xoy中，设直线y=x+2与圆d+y2=/(厂0)交于a、B两点、,O为53坐标原点，若圆上一点。满足OC=04+OB,贝Ir=444 .在平面直角坐标系xy中，已知点尸(0,1)在圆CX2+j2+2nvc-2y+m2-4m+1=O内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为.5 .在平面直角坐标系XOy中，圆C+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦A3,且AB=2GO,则实数加的取值范围是.6 .已知直线y=av+3与圆+,2+2%一8=O相交于AJB两点，点P(AO,%)在直线

9、y=2x上且K4=M,则/的取值范围为.【答案与提示】1【答案】3百2.【答案】,25I-5【解析一】作CE1AB于点E,则C2=bc2be2=bc2_1AB2=bc2_1qd2445r2-m245rJ5由OECD是矩形，CE2=OD2,J=m2-r2,化简得一=J4m3口CDr525即cosZOCD=一=,tanZCOB=tanZOCD=OCm35二直线/i的斜率为2,【解析二】作于点E,则OECD是矩形设OD=t(t0),则由切割线定理OD2=OAOB得t2(r-)(r+-),即/二:产(派)9r2又根2=+产，将(派)代人得加2=，即一=4m3r2RtACOE,SmZCOE=-=-m3.

10、二直线Zi的斜率为-.3.【答案】:历【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.2一3一、22s.253Q,2OC=-OA+-OB=-OA+2-OAOB+-OB,4J16441625ISQ3即/r2+-r2cosZAOB+-r2,整理化简得COSNAoB=.168165过点O作A5的垂线交AB于。,31则cosZAOB=2cos2ZAOD-1=-得CC)S之ZAOD=.D1Q7)2又圆心到直线的距离QD=-I=J5,所以COS2NAQD=-=,r-10.25r2r2【解法二】注意到线性表示时的系数和为2,联想“三点共线”.5-3-153由OC=OA+05,即一OC=OA+。644288得4B、。三点共线（其中。是AB的中点），且AD:5D=3:5,4 设AD=3x,BD=5x5 .【答案】6 .【答案】-2,2【提示】易知Q41OB,考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】(-1,0)u(0,2)