专题29 极坐标与参数方程的概念（解析版）.docx

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1、本资料分享自千人QQ群323031380期待你的加入与分享方法技巧专题29极坐标与参数方程的概念-极坐标与参数方程的概念知识框架二、参数方程与普通方程的互化1 .参数方程的概念:设在平面上取定一个直角坐标系xy,把坐标羽y表示为第三个变量/的函数:atb如果对于/的每一个值（4Z?）,式所确定的点May）都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M（x,y）,都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中方称为参数.2 .参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法等.把曲

2、线C的普通方程方（羽y）=0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性.要注意方程中的参数的变化范围.%=x+%cos2,y=ySinV为参数)；3 .直线、圆、椭圆的参数方程：（1）经过一定点为（/），倾斜角为a的直线/的参数方程为:1X=?,_父3y8121.例题22【例1】在直角坐标系XOy中，已知曲线G的方程为小A=I，曲线G的参数方程为（1）求G的参数方程和g的普通方程;（2）设点尸在C1上，点。在G上，求I尸。I的最小值.22【解析】(1)由曲线G的方程为土+乙=1，106由曲线的参数方程为1Xt,2y8得曲线g的普通方程为A+y+8=0.(2)设P(灰CO

3、Sa逐Sine),点尸到直线g的距离为，则I尸。I的最小值即为d的最小值,因为d同c0s。+疯i+86sin(O+9)+8|,其中tat10=正,当sin/+。)=-1时,d的最小值为工,止匕时I尸Q1=11IX=CoSe、1人山，.小明参y=Sin”X=IH1【例2】已知直线71。为参数)，曲线G：3f设/与C相交于48两点,求B；若把曲线C上各点的横坐标压缩为原来的!倍,纵坐标压缩为原来的3倍,得到曲线设点P是曲线22C上的一个动点,求它到直线I的距离的最小值.【解析】(1)/的普通方程为F=Y3(x-1)C的普通方程为一+./：联立方程组卜Oaf解得/与C的交点为/(IO),S(1),则

4、I4b11.jy2122(2)C的参数方程为|为参数).故点尸的坐标是(k一rIcossin-VJIz从而点P到直线，的距离是d=二2=2sin(-)2,244由此当3n(J-y7J=-IHtJ取得最小值,且最小值为爱(、5-1).442.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系Xoy中，曲线。的参数方程为%=2COS9,j.Q(。为参数)，直线/的参数方程为y=4sine/卜=1+%cos1,y=2+%sin1口为参数).(1)求。和/的直角坐标方程；(2)若曲线。截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.22【解析】(1)曲线。的直角坐标方程为土+匕=1.416当CoSa0时，/的

5、直角坐标方程为y=tan2x+2-tane,当Coso=。时，/的直角坐标方程为X=1(2)将/的参数方程代入。的直角坐标方程，整理得关于I的方程(1+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t-8=O.因为曲线。截直线/所得线段的中点(12)在。内，所以有两个解，设为，。，则。+%2=01一口4(2Coso+sin。)又由得4=一一；5-，-1+3cosa故2cose+sin=0,于是直线I的斜率左=tan。=2.【练习2在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点一为极（1）写出直线二的普通方程和曲线的参数方程.求曲线上的点到直线的最短距离.【解析】（1）消去参数，

6、得直线的普通方程为，由，可得，所以，整理得，所以曲线的参数方程为（为参数）.由得，所以圆心到直线的距离，所以曲线上的点到直线的最短距离为三、极坐标方程与直角坐标方程的互化1 .极坐标系的概念：在平面内取一个定点0,。点出发的一条射线。X,一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.。称为极点，QX称为极轴.设M是平面内任意一点，极点。与点M的距离IoM叫做点M的极径，记作夕；以极轴QX为始边，射线（W为终边的角M叫做点的极角，记作有序数对（夕，。）叫做点M的极坐标.一般情况下，约定0.2 .极坐标系与直角坐标系的互化：直角坐标化极坐标：X=pcos.y=7sie：1

7、.例题【例1】极坐标系中，曲线C的极坐标方程为夕=2.以极点为原点，极轴为X轴建立平面直角坐标系xy,x=a+直线/的参数方程为2（t为参数）.1y=-t2（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线/的普通方程；（2）若曲线C上恰有四个不同的点到直线/的距离等于1求实数。的取值范围.【解析】（1）依题意，夕2=4,代入公式夕2=+y2,得曲线C的直角坐标方程为Y+/=4,由直线的参数方程消去参数K得直线I的普通方程为x-3y-a=0;(2)依题意可得，圆心。到直线/：xgy=0的距离d1,所以0,p20),乙1ITrTrTr/TTsAM。N=-1OMON=-AA=81Sin(O+j)sin(+-+-

8、)1=4sin(29+y)4,所以AMON面积的最大值为4.2.巩固提升综合练习X=-2+2CoSz1【练习。在平面直角坐标系Xoy中，已知曲线GH1c.为参数)，以坐标原点。为极点，y=1+2Sm%X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2:4夕COSe一夕Sine+1=0.(1)求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程；(2)若点尸在曲线G上，。在曲线。2上，求I尸Q1的最小值.X=-2+2CoSz1CC【解析】(1)由GX1c.消去，得(X+2)2+(y1)2=4,y=1+2sn%因为4夕cos。夕Sine+1=0,由直角坐标与极坐标的转化公式可得4xy+1=0.所以曲线G的普通方程为(+

9、2)2+(y1)2=4,曲线。2的直角坐标方程为4%y+1=O.(2)由(1)知6：(+2)2+(丁1)2=4的圆心为(2,1),半径为2,C4x-y+1=0,IPQI的最小值即为(-2,1)到直线4x-j+1=0的距离减去圆的半径，j-24-1+1817X斤I因为(-2,1)到直线4%y+1=0的距离为d=，所以I尸。I的最小值为巴U-2.42+(-1)21717X=cosa+3sina,【练习2】在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为(。为参数).坐标原点。y=sina-y3cosaT为极点，R轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos(6)=3.6(1)

10、求曲线C的普通方程和极坐标方程；兀(2)设射线OM:。=W与曲线C交于点A，与直线/交于点6,求线段AB的长.【解析】(1)由题意得V+y2=(COSI+6Sin1)2+(sina-y3cosa)2=4,曲线C的普通方程为x2+y2=4,：X=pcos,y=夕Sine,代入可得曲线。的极坐标方程为夕=2.(2)把9=4代入夕cos(6乃)=3中，可得cos(四4)=3,3636解得夕=2班,即6点的极径A=26，由易得4=2,=26一2.TT【练习吆】在极坐标系中，已知圆的圆心C(6,),半径厂=3,。点在圆。上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为X轴正半轴建立直角坐标系.(1)求圆C的参数方

11、程；(2)若尸点在线段OQ上，且IOH:卢。=2:3,求动点尸轨迹的极坐标方程.【解析】(1)由已知得，圆心。(6,三)的直角坐标为C(3,3JJ),丫=3,所以。的直角坐标方程为(X3)2+(丁33)2=9，X=3+3COSe所以圆C的参数方程为r(。为参数).y=33+3Sine(2)由(1)得，圆。的极坐标方程为夕26夕(CoSe+Jsin0)+27=0,即夕2=12夕sin(0+二)-27,设尸Q。)，Q(pv6根据IOH：户。|=2:3,可得:PI=2:5,SzTT将Pi=一夕代入。的极坐标方程，得25夕2120夕sin(6+)+108=0,26即动点P轨迹的极坐标方程为25P1-1

12、20psin(9+-)+108=O.6四、参数方程中参数的几何意义1、直线参数方程：(1)注意必须是标准形式；fx=Xo+tcosa,(2)直线的参数方程+%sin。为参数)中参数/的几何意义：Z1表示直线上任一点M(X,y)到直线上定点M0(玉PyO)的距离；2、直线与二次曲线相交问题：1.例题【例1】以平面直角坐标系的坐标原点。为极点，以元轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长x-2-3t度单位建立极坐标系.已知直线/的参数方程为C1为参数)，曲线。的极坐标方程为y=-1+2rPSin2。=4cos6.(1)求曲线。的直角坐标方程；(2)设直线/与曲线C相交于45两点，求A3.【解析

13、】(1)由夕sin2e=4cos6,即夕25垣2夕=4夕COS8,得曲线。的直角坐标方程为/=4%.(2)将/的参数方程代入=4x,整理得4产+817=0,74+%2=-2,单?t1+12)24%1213X4+7=/143.|A/=J(-3+22I1H=AxJ【例2】在平面直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为X=+/COSOC(/为参数，071),在以坐标y=tsma92原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C的极坐标方程为02=e.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设点M的坐标为(1,0),直线/与曲线C相交于4B两点，求II1mamb的值.2【解析】(I)曲线夕2=,即夕2+夕2si/e=2,p2=%2+y2,psin=y,I+sin6丫2曲线C的直角坐标方程为X2+2/=2,即+/=1.X=+/COSCC代入X2+2/=2并整理得(1+sir?。)产+2%COSa1=0,y=tsina2cOS6Z