专题16 圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点（解析版）.docx

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1、专题16圆锥曲线转韦达定理结构：斜率和积、夹角、数量积、垂直、直径的圆过定点考点预测例1.(2023.辽宁沈阳.高二阶段练习)已知抛物线丁=2内(0)的焦点为尸，点M(1M为抛物线上一点，且IMFI=2.(1)求抛物线的标准方程；(2)直线/交抛物线于不同的A5两点，。为坐标原点，且Q4OB=-4求证：直线/恒过定点，并求出这个定点.【解析】(1).MF=2,.1+=2n夕=2,抛物线的标准方程为=4x.设A(XI,%),B(X2，%)，直线/：X=My+代入抛物线V=4%得：y24my-4n=0,Jx+%=4m.%二-4几，U11UU11OAOB=x1x2+y1y2=-4,又弁=4尺=4%,

2、.16x1x2=(j1y2)2=16n2,x1x2-n2,等价于2_4几+4=0n(-2)2=0n=2,直线/恒过定点(2,0).例2.(2023.山东.莒县教育局教学研究室高二期中)已知双曲线C的渐近线方程为x土石y=0,且过点(3,2).(1)求双曲线C的标准方程；3(2)若点。(30),过右焦点厂且与坐标轴都不垂直的直线/与。交于A,6两点，求证：ZAQF=ZBQf.【解析】(1)因双曲线。的渐近线方程为xgy=0,则设双曲线方程为炉-3y2=0),又双曲线过点(3,),则2=93x2=3,所以双曲线。的方程为V3y2=3,BPy-=1.(2)由(1)知/(2,0),/的斜率存在且不为0

3、,设)的方程为尸网1-2),y=k(x-2)由消去y并整理得：(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0,显然13左20,y=13J7二%以项2)左(42)左2%/-2(七+%)+6则加时一33333/、9项不xIX2x-T(xi+x2)+7乙乙乙乙乙I7M2(-12F-3)+-12左2+6(1-3V)=03Q，-122-3+-12F+-(1-3F)24所以NAQF=N5QF成立.例3.(2023.安徽.芜湖一中高二期中)已知圆小k+2gj+y2=64,定点耳(2石,0),A是圆片上的一动点，线段BA的垂直平分线交半径五遂于P点.(1)求P点的轨迹C的方程；(2)设直线/过点(4,-2)

4、且与曲线C相交于W,N两点，/不经过点。(0,2).证明：直线。的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.【解析】(1)圆小+2相)2+9=64的圆心片(2忘0),半径为8,因A是圆K上的一动点，线段KA的垂直平分线交半径EA于P点，贝U1尸乙I=IP41,于是得IM1+9=IMI+B4=与4=846=IEE因此，P点的轨迹C是以正B为左右焦点，长轴长21=8的椭圆，短半轴长。有Z/=/一06)2=4,所以P点的轨迹C的方程是Y+M=1.16422(2)因直线/过点(4,-2)且与曲线C含+?=1相交于M,N两点，则直线/的斜率存在且不为0,又/不经过点。(0,2),即直线/的斜率不等于-1,设直线/

5、的斜率为左，左R且左0,左-1,直线/的方程为:y+2=k(x-4)9即y=区-2(2左+1),Iy=Ax-2(2+1)0oo由122,消去y并整理得：(4左2+I)X2_16左(2左+I)X+16(2左+1)2-16=0,X+4y=16二256k2Qk+1)2-64(4/+1)(2+1)2-1=-256k0,即左0,贝U有左O)/(U)隹卜,孝两点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/不经过A点且与C相交于A,B两点.若直线与直线耳5的斜率的和为T,证明：/过定点.【解析】(1)因椭圆C：5+1=1过点6(。)，贝又点鸟,g在椭圆C上，13于是得T，解得八4,所以椭圆。的方程是：+

6、/=1.(2)当直线/的斜率不存在时，设其方程为X=M(M0),由椭圆对称性知，直线/与。的两交点A,B关于%对称，不妨令4九%),则5(九-%),则有直线4A与直线5的斜率分别为左二M二1,左二A1,mm而Ma+%.=T,从而有5+=T,解得根=2,mm此时，直线/：x=2过椭圆。的右顶点，与椭圆。只有一个公共点，不满足题意，当直线/的斜率存在时，设其方程为=丘+W1),A(%1,y1),B(%2,y2),由，2-07/消去y并整理得：(4V+2+8to+42-4=o,x+4y=4=64k2t216(4左2+1)(t2-1)=16(4左2-z2+1)0,BP42-Z2+10,%+=一直线4与

7、直线的斜率分别为除A=F与B=FSkt77kx,+t-1kx9+t-1c71)(m+m)c74-k2+122ktkpA+kp1i=-+-=2k+一U2=2kM+=2k=1,片A弘玉%X1X24/-4t+14Jt2+1整理得2左1,当仁2左1时，而4左2_+10,贝U有左0,因此，当且仅当左0时，直线/方程为：y=(x-2)-1,直线/过定点(2,-1),所以不过点A的直线/与C交于两点时，直线/：=左(X-2)-1过定点(2,-1).过关测试221.(2023.山东.高二月考)已知椭圆。的方程为1+匕=1(b0),左、右焦点分别是小F2,若椭圆Cab(忖上的点P1,三到K，尸2的距离和等于4.

8、7(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)直线/过定点M(0,2),且与椭圆。交于不同的两点A,B,若NAon为钝角(。为坐标原点)，求直线/的斜率上的取值范围.【答案】(1) y+y2=1;(-o),b(o)(2) (-,-2)(2,+)【分析】(1)利用椭圆的定义可求得。，将P坐标代入方程可求得进而得解；r2Q(2)由题意得直线/的斜率存在且不为0,设/：y=丘+2,代入+=,化简整理,利用判别式求得左2；,44再根据NAOB为钝角，利用向量的数量积转化为O1OB=A1A2+X%2=1,焦点Eh6,o),(3,).解：由题意得直线/的斜率存在且不为O,设/：y=x+2,代入?+/=i,整理

9、得(1+4)f+16依+12=0,=(16)2-4(1+42)12=16(4左23)O,得左？：.设A(%,yJ,B(X2,%)，F+%2=_+4、2，XIX2=+4左2,NAOn为钝角，.CosNAOBvO,则Q4QB=XX2+%。，又Xy2=(+2)(Ax2+2)=k1xx2+2kx+x2)+4,x1x2+Xy2=(1+左1x9+2左(玉+%2)+4=(1+左2卜121+4左24.由得左24,解得左2,上的取值范围是(YC,-2)(2,+).2. (2023.全国高二专题练习)已知椭圆C:5+=1(480)过点A(2,0)11g.(1)求椭圆。的方程；(2)若直线/过。的右焦点交。于,N两

10、点，AMAN=6,求直线/的方程.22【答案】(1)土+匕=1；(2)J=6(x-1).43【分析】(1)运用代入法进行求解即可；(2)根据直线是否存在斜率分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，结合平面向量数量积的坐标表示公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】a=2解析：(1)由题意可得197+后=1MX2322,椭圆。的方程为+1=1.43(2)当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：(1,。),所以直线方程为：x=1,代入椭圆方程中，得1+M=1ny=a,43233333327不妨设AM=(3,-),=(3,-),.AM=33-=-6,

11、不合题意;2222224Sk242-123+4左2设直线1y=左(X1)(左0),(X1，%),N(尤2,%)，,43得：(3+4左2)%2一&左2%+4左2一i2=0,X+%2=y=k(x-1)=(X1+2)+2)+2(%_1)(%2_1)=(1+k?)+(2_左2)(否+%)+4+左2=6,即(1+左2)%2+(2左2)(XI+%)+左22=1+2+1-k22+k2-2=0,解得k2=6,k=6,3+4k3+4左直线/的方程为y=遥(x-1).3. (2023.全国高二期中)已知中心在原点的椭圆GW+=1(q70)的一个焦点为(3,。)，点abM(4,y)(y0)为椭圆上一点，ZkMO片的

12、面积为(1)求椭圆。的方程；(2)是否存在平行于OM的直线/,使得直线/与椭圆C相交于AB两点，且以线段A5为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出/的方程，若不存在，说明理由.【答案】(1)+=1；(2)存在，y=1晅.18944【分析】(I)根据三角形面积公式，结合椭圆中。方,c的关系进行求解即可；(2)根据题意设出直线/的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】333解：Smofi=-y=-得V=IM在椭圆上，.+g=1么是椭圆的焦点.=)2+922由解得：/=18,/=9方程：+=1.189(2)OM的斜率左，设/的方程为y=,x+

13、机，44联立方程组1y=x+m4，22整理得9y216My+8疗9=0.X+j-1111189=(16m)2-49(8m2-9)0,解得机9292丁，丁设AB两点的坐标为(和)(%，%)，则%+%=咽，%=近二99以AB为直径的圆经过原点，所以有O4O6=0,即XIX2+M%=S孚口经检验满足,所求/的方程为y=5孚4.(2023.江西上高二中高二月考(文)已知椭圆。的中心在原点。，左焦点为片(-1,0),长轴长为2(I)求椭圆C的标准方程;()过左焦点片的直线交椭圆。于A,区两点，若OA1OB,求直线A5的方程.2【答案】(I)y+y2=1;(II)2x-2j+2=02x+2y+2=0.【分析】(I)根据焦点坐标和长轴长可得cm,进而可得椭圆方程;()设出直线方程，并与椭圆方程联立，根据韦达定理求出%+%=2m可求加，进而求出直线方程.【详解】(I)因为左焦点为耳(-1,0),长轴长为20，所以C=IM=;所以2=/02