[寒假]圆锥曲线轨迹方程经典例题.docx

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1、轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：、必修2课本P24B组2：长为2a的线段的两个端点在工轴和)，轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P24B组：已知M与两个定点(0,0),A(3,0)的距离之比为;，求点M的轨迹方程；(一般地：必修2课本Pi44B组2:已知点M(x,y)与两个定点M,M2的距离之比为一个常数？；讨论点M(x,y)的轨迹方程(分W=1,与21进行讨论)2、必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+/=1上运动，求AB的中点M的轨迹。(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系XQy中，已知圆P在工轴上截得线段长为2后，在

2、y轴上截得线段长为2百。(1)求圆心的P的轨迹方程；2(2)若P点到直线y=尤的距离为三，求圆P的方程。如图所示，已知P(4,0)是圆f+y2=36内的一点，A、8是圆上两动点，且满足乙4P8=90。，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R,坐标为Hy),则在RtZA8P中，IAR1=用.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtZXQAR中，IARF=IAO/-OR2=36-(f+y2)又IARI=IPRI=J(X-4尸+在所以有q-4)2+y2=36-(x2+y2),即f+y2-4x-10=0因此点K在一个圆上，而当R在此圆上运动时，。点即在所求的轨迹上运动.设QaJ),R

3、a1J1),因为R是PQ的中点，所以X1=苫上必=与，代入方程X1+y2-4x-10=0,得(等)2+弓)24号-10=0整理得：f+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系XOy中，点A(0,3),直线/:y=2x4.设圆。的半径为1圆心在/上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点4作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆。上存在点使MA=2MO,求圆心C的横坐标4的取值范围.(2013陕西卷理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦IMNI的长为8(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点8（T,0）,设不垂直于X轴的直线/与轨迹。交于不同的两点P,Q,若X轴是NP

4、BQ的角平分线，证明直线/过定点。二、椭圆类型：3、定义法：（选修21P5o第3题）点M（x,y）与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离之比为J,求点M的轨迹方程.（圆锥曲线第二定义）讨论：当这个比例常数不是小于】，而是大于1,或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、圆锥曲线第一定义：（选修2-IP50第2题）一个动圆与圆2+y2+6+5=0外切，同时与圆f+y2-6A-91=0内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、圆锥曲线第一定义：点M（XO,%）圆耳（x+iy+V=9上的一个动点，点尸2（1,0）为定点。线段MF2的垂直平分线与MK相交于点Q（x,y）,求点Q的轨迹方程;（注意点

5、尸2（1。）在圆内）6、其他形式：（选修2-1P5O例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线AM,BM相交于点M,且他们的斜4率的乘积为求点M的轨迹方程：（是一个椭圆）4（讨论当他们的斜率的乘积为-时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆/：（%+I）?+V=1,圆NMx-I）?+/=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C。（I）求C的方程；（2）/是与圆尸，圆M都相切的一条直线，/与曲线C交于AB两点，当圆P的半径最长时，求IAw（2013陕西卷文20）已知动点M（Xy）到直线/:X=4的距离是它到点N（IQ）的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C

6、的方程(2)过点尸(0,3)的直线加与轨迹C交于AB两点，若A是PB的中点，求直线加的斜率。三、双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M(XO,打)圆尸N+1)?+V=I上的一个动点，点F2(1,0)为定点。线段A/8的垂直平分线与M耳相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点产2(1。)在圆外)定义法：(选修2g例5)点M()与定点g。)的距离和它到定直线”等的距离之比为%求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：(选修2-1)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=-2的距离相等，求点M的轨迹方程。(或：点M(x,y)与定点F(2,0)的距离比它

7、到定直线=3的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点Ma,y)到直线/:x=4的距离是它到点N(U)的距离的2倍。求动点M的轨迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线2与轨迹。交于AB两点，若A是PB的中点，求直线?的斜率已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(X,y)满足MA+MBI=OM(OA+08)+2。(1)求曲线。的方程；)在直角坐标系Xoy中，曲线C1的点均在C2：(X-5)2+y2=9外，且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(I)求曲线C1的方程；(湖北)设A是单位圆2+y2=1上的

8、任意一点，i是过点A与X轴垂直的直线，D是直线i与X轴的交点，点M在直线1上，且满足IDMI=mDAI(m0,且田六1)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；(辽宁)如图，椭圆C：-vTT=b0,a,b为abC1：x2+y2=r12,btb0),点P为其上一点，R、F2为椭圆的焦点，Z1FiPF2的外角平分线为/.Crb-点入关于/的对称点为。，乃。交/于点R(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C直线/:产k(x+正幻与曲线C相交于A、8两点，当4AOB的面积取得最大值时，求一、1.解析:.

9、PQ+PBI=2,PQ=PEI,PQI+PBI=PHI+PQI=2,即IRQI=24.动点Q到定点F1的距离等于定长2,故动点。的轨迹是圆.解析：设交点PaMA(-3,0)/2(3,0),PGojo),尸2(孙一泗):4、B、P共线，.匕生二一二7A2、P2、P共线,x-x0x+3二、3.解析：由SinC-Sin8=SinA得c-b=1,.应为双曲线一支,且实轴长为j故方程为摩-驾=I(X222/3/4心一16x216V2,za、答案：I-4r=(x-)a2344S34.解析：设P(XJ),依题意有/=I,化简得P点轨迹方程为4,r+4y2-85x+100=0.y(x+5)2+y2J(X-5)

10、2+y2答案：42+4-85+100=0三、5.解设过B、C异于I的两切线分别切。0于。、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知BA=BD1PD=PEtCA=CE1,故IPBICPq=IBDMPD1+1PC1=IBA|+|P|+|PQ=+CE=B+C4=6+12=186=BC,故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、。为两焦点的椭圆，以/所在的直线为22X轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为言+今6.解：设P(XoJo)(XX),Q(xj).A1(-,O)12(,O).=1XO=(o)x+axa+ap由条件得x2-a2工.3=-1X-aXq-a*而点P(XoJo)在双曲线上，

11、二.射向2-a2ytii=a2b2.22即h2(-x2)-2(xa)2=a2h2y化简得Q点的轨迹方程为：a2xi-b1yz=a4(xa).8.解：(I)：点尸2关于/的对称点为。，连接PQ,F2PR=QPR1F2R=QRiPQ=PF2又因为/为乙QPF2外角的平分线，故点为、P、。在同一直线上，设存在RaO,加，。(用田)的(-C,0),尸2故,0).旧Q1=I尸2PHPQI=mH+IP同=2。,则S+c)2+y2=(2)2得x=2xo-c,y=2yo.(2xo)2+(2yo)2=(2a)2,.,o2+o2=2.故R的轨迹方程为：2+)j2=2(j0)1 2(2)如右图,SA0=-IOAHo

12、用SinAoB=SinAOB2 2当乙AOB=90。时，Sob最大值为比2此时弦心距I。IJ-1-+F在RtAAOC中，A0C=45o,3.g=上二COS45。=0.小I。A1j1+女22专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1.如图1,8C中，已知3(2,0),C(2,0),点A在X轴上方运动，且tan3+tanC=2,则顶点A的轨迹方程是.程是.4 .与双曲线一一2丁=2有共同的渐近线，且经过点Q,2)的双曲线方程为.5 .如图4,垂直于y轴的直线与)，轴及抛物线丁=2(1-1)分别交于点A、0，点B在)，轴上，且点A满足IAB1=21OAI,则线段尸B的中点Q的轨迹方程是.几种常见求轨迹方程的方法：1.直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式一代换化简检验；【例I】(1)求和定圆+V=浦的圆周的距离等于R的动点尸的轨迹方程；(2)过点4。,0)作圆。：/+y2=R2mR0)的割线，求割线被圆。截得弦的中点的轨迹解：