[寒假]圆锥曲线的综合应用及其求解策略.docx

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1、圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：、定点与定值问题；、最值问题；、求参数的取值范围问题；、对称问题；、实际应用问题。解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、不等式、函数等)，再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点(或定值)，再证明这个点(值)与变量无关；、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值)。1、不论

2、。为何值时，直线3-1)x-y+2+1=0恒过定点P,则过P点的抛物线的标准方程为.2、已知动圆圆心在抛物线=4上，且动圆恒与直线%=-1相切，则此动圆必过定点223、在平面直角坐标系My中，如图，已知椭圆g+=1的左、右顶点为A、B1右焦点为F。设过点T(f,)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(X,y)、N(X2,丁2),其中m0,必0,y20)上的点到焦点尸(CfO)的最大距离为.a-b-2、已知平面内有一固定线段四,其长度为4,动点、满足IPA卜IPBI=3,O为四的中点，则/8/的最小值为一3、以椭圆短轴的一端点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积为1,则椭圆长轴的最小值为4、P为抛

3、物线2=4y上的一动点，定点A(8,7),则P到X轴与到A点的距离之和的最小值为抛物线P=V上的点到直线4户3尸8=0距离的最小值是一225、设实数x、y满足三+与=1则3ry的最大值是最小值是162926、抛物线2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则PA+PF|最小值是()A6B9C12D16若将上题中点A的条件改为A(3,1),其它不变,则应为7、设尸是抛物线G:f=4y的焦点.设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA-FB=O1延长AF,8尸分别交抛物线G于点C、D,求四边形A3C。面积的最小值.8、已知椭圆E:+-=1,点P(,y)是椭圆上一点。(1)求Y+V的

4、最值。(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值C9、已知点软-2,O),jV(2,0)1动点。满足条件IPMI-IPNI=2应.记动点P的轨迹为W.(I)求/的方程；(II)若48是加上的不同两点，0是坐标原点，求Q4O8的最小值.10、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,(),(,0),离心率是手,直线y=r与椭圆C交与不同的两点M,N1以线段UN为直径作圆P,圆心为P.(I)求椭圆C的方程；(II)若圆P与X轴相切，求圆心P的坐标；(III)设Q(,y)是圆P上的动点，当，变化时，求y的最大值.11、在平面直角坐标系XQy中，直线/：X

5、=-2交X轴于点4设P是/上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足/MPO=4AOP.(1)当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知7(1,-1)设”是E上动点，求IHo1+171的最小值，并给出此时点”的坐标；(3)过点7(1,-1)且不平行于y轴的直线八与轨迹E有且只有两个不同的交点.求直线的斜率k的取值范围.12、设圆C与两圆+币)2+y2=4,-小)2+V=4中的一个内切，另一个外切.(1)求C的圆心轨迹1的方程；(2)已知点45),F(5,0),且P为1上动点.求I1MP1I尸P11的最大值及此时点P的坐标.13、已知椭圆G：,+V=1,过点(小,0)作圆2+y2=

6、1的切线/交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将IA用表示为用的函数，并求IA剧的最大值.14、已知平面内一动点P到点尸(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线八，/2,设公与轨迹C相交于点儿伐/2与轨迹C相交于点。，E,求AB丽的最小值.三、求参数的取值范围范围问题:求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：、第一种是不等式(组)求解法=根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)再得出参数的变化范围；、第二种=是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的

7、函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。A.大于O且小于1B.大于1C.小于OD.等于O2、已知点尸是双曲线b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点尸且垂直于X轴的直线与双曲线交于A、8两点，AAB石是锐角三角形，则该双曲线的离心率。的取值范围是()A.(1,+8)B.(1,2)C.(1,1+2)D.(2,1+2)3、若直线2x-y+q=0与圆。-1)2+丁=1有公共点，则实数的取值范围为()A.-2-5a-2+5B.-2-5a-2+5C.-5Wa5D.-5a=(1,0),且G+3)(a-3?).(I)求点Q(,y)的轨迹C的方程；(I1)设曲线C与直线y=+加相交于不同的两点M、N,

8、又点A(O,-1),当MMI=IAN1时，求实数的取值范围。6、在直角坐标系XOV中，以。为圆心的圆与直线工-石)，=4相切.(1)求圆。的方程；圆。与X轴相交于A、B两点，圆内的动点尸使IeA1,I叫疗用成等比数列，求P4P8的取值范围.7、如图，已知尸(1,0),直线/:工=-1,P为平面上的动点，过点P作/的垂线,垂足为点。，且QPQF=FP.FQ(I)求动点P的轨迹C的方程；(II)过点尸的直线交轨迹。于48两点，交直线/于点M(1)已知MA=4人尸，MB=A2BF1求4+4的值；(2)求IMAMMq的最小值.四、对称问题：包括两种情形：、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；、轴对称

9、问题：主要抓住以下两个条件去处理垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。1、如图，直线y=1x与抛物线产!丁-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y二28-5交于Q点.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求aOPQ面积的最大值.2、在平面直角坐标系Xoy中，过定点C（。，P）作直线与抛物线炉=2py（p0）相交于A3两点.（1）若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求A4V3面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线/,使得/被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出/的方程；若不

10、存在，说明理由.五、实际应用问题：此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数学问题的转化。【例题9】如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30。方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点中到A的距离比到B的距离远2km0现要在曲线PQ上选一处M建一座1f东码头，向氏C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用A.(27-2)a万元B.5a万元C.(27+1)a万元D.(23+3)a万元分别是a万元/km、2a万元km,那么修建这两条公路的总费用最低是（）总之，圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：1、直线与圆锥曲线的位置关系：

11、、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去）得到关于X（或关于y）的一元二次方程，再考查其4,从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：(I)若(),则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点；、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点)、相切(有一个公共点)、相离(没有公共点)三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。2、直线被圆锥曲线截得的弦长问题：、直线与圆锥曲线有两个交点A(x.,y,)xB(x2,y2),一般将直线方程1：y=kx+m代入曲线方程整理后

12、得到关于X的一元二次方程=则应用弦长公式：IAB1=(1+F)(x,+x2)2-4x1x2；或将直线方程1:x=p+t代入曲线方程整理后得到关于y的一元二次方程n则应用弦长公式：IABI=J(I+2)(,+必)2-4%必；、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷；、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通9h2径长都为,而抛物线的通径长为2p；、对于抛物线=2px(PX)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来很方便：AB=x.+x2+p;AB=t-(其中为过焦点的直线AB的倾斜角)o1I1(X3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常

13、用的求解方法有两种：、设直线方程为y=kx+m,代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大)；/b2921+21片b2、利用点差法：例如在椭圆*+=1内有一定点P(,y),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A(x,y)、B(X2,y2),则A、B满足椭圆方程，即有k,、一一P(Xi+X2)(X1-X2)(y1+y2)(y-y2)11_rz.11t1y1-y2两式相减再整理可得：；从而可化出k=-=abX1-X2(X1+X2)-b?_Xob(y1+y2)Q2yoa2对于双曲线也可求得：k=W=咨;抛物线也可用此法去求解，值得注意Xi2y-ry2/dyoa的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。4、解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：、解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公