[寒假]圆锥曲线最值问题.docx

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1、范围、最值问题1、已知椭圆C：二+与=13比0)的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为正，点fI、力b22尸2分别是椭圆的左、右焦点，在直线v=2上的点P(2,6)满足仍尸2|二内尸2|,直线/：严自+加与椭圆。交于不同的两点A、.(I)求椭圆C的方程；(H)若在椭圆C上存在点。，满足04+丽=九曲(O为坐标原点)，求实数4的取值范围.解：依题意有c_J27y得，(2c)2=(2-?)2+3.1,x2,r-：.b=.方程+y=1.5分2.2J(II)由O,得1+2&机？由、两式得4加2丸2m2.ZnWo,几2bO)的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个a*b端点构成等边三角形.(I)求椭圆

2、C的方程；(II)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，设点A关于X轴的对称点为A.(i)求证：直线AB过X轴上一定点，并求出此定点坐标；(ii)求aOAB面积的取值范围.解：(I)因为椭圆C的一个焦点是(1,0),所以半焦距c=1.椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以上=-,解得a=2,b=6.a2（1）0（1）=1+在（2,+00）上为增函数，A13分故AOAiB的面积取值范围是f,J.所以唧+而2+a=?,得0SAOAB0）中，F,F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭28圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AB交椭圆于另一点C交y轴

3、于点E,且点B、F2三等分线段BD。（I）求a的值；（II）若四边形EBCFz为平行四边形，求点C的坐标。（in）设4=*2,=也也,求几+的取值范围。SMEOSbCEO解：（DVF,Fz三等份BD,BGB=g3WRc=g24,=3c1分Va2=b2+c2,b2=8,.,.2=9/O,/.=3.3分(II)由知=3,5(-3,0),K(TO),二耳为BF2的中点,若四边形EBC写为平行四边形C,E关于E(TO)对称,设C(Xo,y),则E(-2-x0,yo),E在y轴上,.-2-XO=O,Xo=-2,.5分.点(X。,y。)在椭圆上,.+?=1,.+.=1解得y=半，依题意y。=-马普,因此点

4、C的坐标为(-2,-当)6分(III)依题意直线AC的斜率存在，X2+y21二.直线AUy=k(x+1),A(X,y),C(X2,y2)由J98y=k(x+1)得(8+9k2)2+18k2+9(k2-8)=0,x+x,=-r,x.x2=98),28+9k2,28+9k2_SAAFIO二;IAFjhJAE1二TiTF1-1-X/二x+1=x+1saeo1AEhIAE11+k20-x1区1x1+x11+x1_x2(1+x1)+x1(1+X2)_X1X2X1X2点A在第一象限.042&令f=-,则上2=83,.O838,即O12,即4+的取值范围曷2.13分4、求B、尸2分别是椭圆匕+V=I的左、右

5、焦点.4.225(I)若是第一象限内该数轴上的一点，PK+PF2=一1,求点P的作标；(II)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于同的两点A、B,且NAoB为锐角(其中O为作标原点)，求直线/的斜率左的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力.(I)易知=2,b=1,c=3(-3,0),6(6,0).设P(,y)(O,yO).则113丫2PFcPF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=2+/-3=,又上+y4429-+y-联立2X一+U2y7=4=1()显然X=O不满足题设条件.可设/的方程为y=丘+2,设A(X1,y),B(x2,y2).A2联立X2+4(H+2)2=4=(1+4A:2)x2+1Gkx+12=0y=kx-2.*.xx2=，x+x2=由A=(16A)2-4(1+42)120121+4/,21+4公316&2-3(1+4/)0,4标一30,得二.4又ZAQB为锐角08SzAOB0o0A080,：OA-OB=xx2-yxy20又凹月=(3+2)(3+2)=2工也+2&(工+x2)4x1x2yy2=(1+),+2k(+,)+4=(12)!+2Z(i-)+41+4ZZ1+4Z4(4-A:2)1+4F12(1+/)2k16kI4+4k21+4k23综可知二公4,%的取值范围是(一2,-4