[寒假]圆锥曲线的保角性.docx

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1、圆锥曲线的保角性涡阳第三中学胡维大2013-4-292V2定理1：已知P为椭圆二+=1（ab0）上异于长轴端点A、B的任意一点，直线PA、PB分别交椭圆的右（左）准线于M、N两点，点F为椭圆的右（左）焦点，则FM与FN互相垂直。证明：设A（一,O）,8（a,0）,F（c）,P（x0,y0）,因P在椭圆上，所以巧+乌=1,所以.出3=工abx-aCr又因为直线PA的方程为：上二立3,Jof1与准线方程联立可得点M的坐标，cx0+ac直线PB的方程为：-匕二士巳，凡a与准线方程联立可得点N的坐标，cXq-ac所以前=+cj,Tw=（6z-cx0+accXq-a又因为。2一。2=b2fjieTJ7b

2、y；a,-a2c2b4b4-a2c2所以FM/N=-T+一产,；r5=cXq-accac所以FM_1FN,即NMFN为直角。类似地可得：22定理2：已知P为双曲线二一鼻=1（0,。0）上异于顶点人、abOxCb4b2a2b2八-U222CCrCB的任意一点，直线PA、PB分别交双曲线的右（左）准线于M、N两点，点F为双曲线的右（左）焦点，则FM与FN互相垂x-a2a2又因为直线PA的方程为：上二Hqo+与准线方程联立可得点M的坐标,M(,上.心)cXq+ac直。证明：设A(一,O),B(a),F(c,0),P(Xo,%)，x2v2在双曲线上，所以号一当二1,ab直线PB的方程为：-匕二七色凡a

3、与准线方程联立可得点N的坐标,一a2所以尸M=（jcxq-a又因为，一2=，所以/一。2=一82b4所以尸M/N=-+c-a2,2b4b4b2+ca-a2(b2)=O所以FM_1FN,即NMFN为直角。对于抛物线相应地有定理3：为了证明定理3,先看如下两个引理:引理1：过抛物线产=2内（p0）的焦点F任作一条直线，交抛物线与A（再，y）,B（x2,y2）两点，y1y2=-p2引理2：过抛物线y2=2px（p0）的焦点F任作一条直线，交抛物线与A、B两点，直线Ao交抛物线的准线与M点，则MB平行于X轴。以上两个引理均易证，此处不再赘述。定理3：过抛物线y2=2px(P0)的焦点F任作一条直线，交抛物线与A、B两点，直线AO、Bo分别交抛物线的准线与M、N两点，则FM与FN互相垂直。证明：设A(x,y),B(x2,y2),由引理1可知必力二-02,由引理2可知用(一,力)，N(-,y),又因为尸,0),所以丽=(一2丫2)，丽=(-p,y)所以FMFN=(-p,y2)(-p,y1)=p2+y1y2=p2-p2=0所以FMJ_FN,即NMFN为直角。通讯地址：安徽省涡阳县第三中学邮编:233606邮箱：Zhggenben