[寒假]圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版).docx

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1、圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1 .熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2 .掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3 .灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学)解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率(a,b,c)适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化范围；(3)函数值域求解法：把所讨论

2、的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；(5)结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：通过参数简明地表示曲线上点的坐标；利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；(6)构造一个二次方程，利用判别式A02.解题时所使用的数学思想方法。(1)数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把

3、几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。(2)转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化,实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。(3)函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。(4)分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】X2V21.已知双曲线G：/一方=1(40,0)的左、右焦点分别为耳、F2,抛物线G的顶点在原点，准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线G的交点P满足_1耳居，则双曲线G的离

4、心率为()a.2B,3c.D,223/24/解：由已知可得抛物线的准线为直线X=.方程为N?=X；由双曲线可知P(c,),.,.(Yc,Ir-2c=2,.e2-=2,e=3.aaca22y2.椭圆r+f=1(abO)的两个焦点分别为尸、圾，以片、鸟为边作正三角形，若椭圆恰ab好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为AB.3-1c.4(2-3)2解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得IPF21:|PE1EgI=I:6：2,所以由椭圆的定义及e=上得：=3-1,故选B.2c二WK1二22PP3+1(B)3+2D.4变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出

5、离心率e=J5+1.22X-V3.(09浙江理)过双曲线r二=1(。0，80)的右顶点从作斜率为一1的直线，该直线与双曲线a-b-的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB=1BC,则双曲线的离心率是()21. 2B,3c.5D.1【解析】对于A(4,0),则直线方程为x+y-=(),直线与两渐近线的交点为B,C1(crab)a2ab2a2b2a2b(ababyBT,T，C*，-BC-(-573，5TV)AB一,(a+。a+b)a-ba-ba-bcrba+ba+b)4.(09江西理)过椭圆r+a1(a。O)的左焦点G作工轴的垂线交椭圆于点P.入为右焦点,若NK尸乙=60,则椭圆的离心率为()a.日

6、3B.3因此2AB=8C,.4a2=b29.e=y5.答案：C当故选B123从【解析】因为P(-c,-),再由/尸乙=6()有:=2。,从而可得e=(08陕西理)双曲线*-卡=1(0,0)的左、右焦点分别是，鸟，过耳作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若垂直于X轴，则双曲线的离心率为(B)A.6B.3C.2D.3226. (08浙江理)若双曲线F彳二1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是(D)ab(A)3(B)5(C)3(D)577. (08全国一理)在AABC中，AB=BC,cosB=-.若以4B为焦点的椭圆经过点C,则3该椭圆的离心率e=.-&(10辽宁文)设双曲

7、线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为8,如果直线/8与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()(A)6(B)6(C)与(D)警22X2y2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在X轴上，设其方程为：-=1(00).abr则一个焦点为/(c,0),8(。力)一条渐近线斜率为：2,直线尸8的斜率为:上,-(-)=-11acac.222八C51/.h=acc-a-ac=0,解得e=.a29. (10全国卷1理)已知F是椭圆C的一个焦点，8是短轴的一个端点，线段8F的延长线交C于点D,KBF=IFD1则C的离心率为.解析：答案：坐=1(aZO)不妨设为上顶点，厂为右焦点，设次Xy).由8尸29如图，

8、设椭圆的标准方程为F+-Zr3cx=一2by=2z3cb、D-.-).22=2FD,得(c,-Z)=2(t-c,y),c=2(x-c),C,解得-b=2y=74=，所以IOD1=0FI=IcJPXD=,由椭圆的第二定义得DD1BD312202.1Z,cr3c、3c2IFD=e(-)=a-c22a又由8=2/|,得=2。一竺，ne=必a3【解析2设椭圆方程为第一标准形式*+齐=1设。(工2，2)，F分BD所成的比为2,0+2x233j+2v23y_-b30-/?bc=x2=-x=-c,ye=J=K=-1=一一,代入C1+2-2c211+2222X-V-10. (07全国2理)设片，鸟分别是双曲线

9、一7一不的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使aZrNKAg=90且IA耳|二3IA6I,则双曲线的离心率为(b)C叵d.52JA斗AF2=2AF2=2a9主巫(A)2(AF2)2=(2c)2W2I-V11.椭圆一+K=1(O,bO)的左焦点为F,若过点F且倾斜角为45的直线与椭圆交于a、B两点ab且F分向量BA的比为羽，椭圆的离心率e为:o本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法(一)：设点A(XA,%),b(x,J),由焦半径公式可得竺、g.a+ex2则2（+6/）=3（。+64），变形2（o+ex八-a-

10、exfi）a-ex1t.所以阳乙一乙）=。十3因为直线倾斜角为45,所以有2eABI=IMM,所以e=5提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）：IMIW1MI=/网AD=1AF=1ABIACI=I网|AD|-|B|=aciA-i=yBe=512.（10辽宁理）（20）（本小题满分12分）29X-V*设椭圆c：r+*=1（匕0）的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于a,B两点，直线Iab的倾斜角为60

11、,AF=2F8.椭圆C的离心率.解：设AaPy）,3（和力），由题意知K（I）直线I的方程为y=3（x-c）1其中C=Ja2-.y=3（x-c）,联立丫22得（3/+人2）y2+26了一3匕4=02-=/护6”+孕=2一辰2(c3)3a22+2=1(。匕0)的焦点为1.+b23a2+b113. 4是椭圆长轴的一个端点，。是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P,使2V*解析：设椭圆方程为a乙。%二1,则椭圆离心率的范围是.+-=(ab0),以OA为直径的圆:X2-0r+y2=0,两式联立消yD22得2r-+尻=0.即/,V2-+按=0,该方程有一解X2,一解为4,由韦达定理X2=f-a,0aeX2a,

12、即O-4=e.e22答案：e/?0）上有一点乂，耳，K是椭圆的两个焦点，若M1M=2椭圆的离心率的取值范围是;解析：由椭圆的定义，可得IMFI1+g=2又MPM闻=,所以明尸Mg1是方程f-2ar+2Z?=0的两根，由二（一2）24x20,可得片之？。？，即/之？。一）c22所以e二一二丁，所以椭圆离心率的取值范围是O,bO）上横坐标为一的点到右焦点的距离大于它到左准线的a-b2距离，则双曲线离心率的取值范围是解析ci23cr331oci)e(ciH)即一-I解得e2故选B.c2c22e16.（07北京）椭圆F21两条准线与t轴的交点分别为M，N,若IMM2EE,则该椭圆离心率的取值范围是()

13、A(2Bc,5)解析由题意得生-22c.e立故选D.c22,X(07湖南)设耳，K分别是椭圆/+京=1(ab0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段P6的中垂线过点入，则椭圆离心率的取值范围是()分析通过题设条件可得产鸟=2c,求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：线段PK的中垂线过点居，PF1=2c,又点P在右准线上，P63-CcBP2cc：.e0,b0)的两个焦点为爪凤若P为其上一点，且IMI=2|成则双曲线离心率的取值范围为(B)A.(1,3)B.(1,3C.(3,+)D.3,+oo)分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断/3a解析：PF1=2PF2,PF1TPF2=PF2=20,PF2C。