[寒假]圆锥曲线中存在点关于直线对称问题.docx

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1、圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直(斜率之积为一1)和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x?+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线/：y=4xm,椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x,y)、B(x2,y2)关于/对称，中点为C(XoJy则AB所在直线为y=-1xb.与椭圆联立得：彳x2-2bx+4b2-12=0,x24b=F1124xb-4x2b12b1yO=2=TT.*/C在y=4xm上，.12b4b-113m.-y=B4+m,b=XV=4b

2、2-4彳(4b2-12)=4b2-52b2+13120,切u213bi1169m213故b-T，即6VT.付2灰2灰解得：一甘-m13,由此解题过程不难归纳出步骤如下：1 .假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2 .联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3 .把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4 .利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：已知双曲线2-=1,双曲线存在关于直线/：y=kx+4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k#0,因为要用到一：.K2.k为

3、何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线/：y=k(-1)+1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题:1弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在I(交点在同一支上)弦中点在抛物线“内部”或H(交点不在同一支上)2。范围问题22椭圆+S=1双曲线抛物线为1或君一0dUdU(焦点在X轴上)W爷X或H0M(xo,yo)为中点，则y2-2pxO)y2+2pxO)x2-2pyO)(焦点在y轴上)x2pyO)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：3x?+4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线1：y=4xm,椭圆C上有不同两点关于这条直线对

4、称.解：设存在两点A(xhy1)B(x2,y2)关于/对称,中点为C(x,y),则3x2+4y2=12,Ya2142S组yf3(x+x2)3x1I3x22+4yz2=12,得.2=-砺的=一药=一Z,：y=3x.联立y=4x+m,解的X=m,y=-3m,TM在椭圆内部，中+中W噜这种通法的步骤是：1。设出两点和中点坐标(x,y)；2。用“点差法”根据垂直关系求出X,y满足的关系式；3。联立直线方程，求出交点，即中点；4。由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法:例2：在抛物线y=a2-1上存在两点关于直线x+y=O对称，求a的范围.解：显然a0.设存在两点为A(Xby1)、B(X2W),y1y2ax2-ax22/1日U1=a(x1+x2)=1，即x+2=二，X|-X2Xi-X9ay+y2,X1+x2八日n1-a2+-2-二即X,X2=，因为存在这样的两点，11*i故方程X?；+-=O的(),11-a3即U-4P-负a4这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用求出参数范围.当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.