强归纳法例题.docx

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强归纳法例题强归纳法是一种证明方法，它的基本思想是：如果一个性质对某个自然数成立，那么这个性质对所有自然数都成立。下面是一个使用强归纳法的例题：例题：证明对于任意自然数n,有1+2+3+.+n=n(n+1)2.证明：1 .当1时，左边二1,右边二1*(1+1)2=1,等式成立。2 .假设当n=k时，等式成立,即1+2+3+.+k=k(k+1)/式3.现在我们要证明当n=k+1时，等式也成立。由归纳假设,我们知道1+2+3+.+k=k(k+1)2o现在我们要计算1+2+3+.+k+(k+1)的值。根据加法的结合律，我们可以将k+1与前面的项分开计算：1+2+3+.+k+(k+1)=(1+2+3+.+k)+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)o接下来我们计算右边的和：(k(k+1)/2+(k+1)=葭2/2+k/2+k+1=(k2+2k+2)/2=(k+1)2-1)2o现在我们可以看到，当n=k+1时，等式左边等于(-2+2k+2)/2,而右边等于(k2+3k+3)/2。由于这两个值相等，所以我们证明了当n=k+1时，等式也成立。由以上步骤，我们完成了强归纳法的证明。